Lifting the field of norms

Berger, Laurent

Journal de l’École polytechnique - Mathématiques, Tome 1 (2014), pp. 29-38.

Soit $K$ une extension finie de ${\mathbf{Q}}_p$. Le corps des normes d’une extension de Lie $p$-adique $K_{\infty }/K$ est un corps local de caractéristique $p$ muni d’une action de $\mathrm{Gal}(K_{\infty }/K)$. Quand peut-on relever cette action en caractéristique nulle, en même temps qu’une application de Frobenius compatible ? Dans cette note, nous formulons de manière précise cette question, expliquons son intérêt pour la théorie des $(\varphi ,\Gamma )$-modules et donnons une condition pour l’existence de certains types de relèvements.

Let $K$ be a finite extension of ${\mathbf{Q}}_p$. The field of norms of a $p$-adic Lie extension $K_{\infty }/K$ is a local field of characteristic $p$ which comes equipped with an action of $\mathrm{Gal}(K_{\infty }/K)$. When can we lift this action to characteristic $0$, along with a compatible Frobenius map? In this note, we formulate precisely this question, explain its relevance to the theory of $(\varphi ,\Gamma )$-modules, and give a condition for the existence of certain types of lifts.

[CE14] Chiarellotto, B.; Esposito, F. A note on Fontaine theory using different Lubin-Tate groups, Kodai Math. J., Volume 37 (2014) no. 1, pp. 196-211 | MR

[Fon90] Fontaine, J.-M. Représentations $p$-adiques des corps locaux. I, The Grothendieck Festschrift, Vol. II (Progress in Math.), Volume 87, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1990, pp. 249-309 | MR | Zbl

[Fon94a] Fontaine, J.-M. Le corps des périodes $p$-adiques, Périodes $p$-adiques (Bures-sur-Yvette, 1988) (Astérisque), Volume 223, Société Mathématique de France, 1994, pp. 59-111 (With an appendix by Pierre Colmez)

[Fon94b] Fontaine, J.-M. Représentations $p$-adiques semi-stables, Périodes $p$-adiques (Bures-sur-Yvette, 1988) (Astérisque), Volume 223, Société Mathématique de France, 1994, pp. 113-184 | Numdam | MR | Zbl

[FW79a] Fontaine, J.-M.; Wintenberger, J.-P. Le “corps des normes” de certaines extensions algébriques de corps locaux, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B, Volume 288 (1979) no. 6, p. A367-A370 | MR | Zbl

[FW79b] Fontaine, J.-M.; Wintenberger, J.-P. Extensions algébriques et corps des normes des extensions APF des corps locaux, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B, Volume 288 (1979) no. 8, p. A441-A444 | MR | Zbl

[FX13] Fourquaux, L.; Xie, B. Triangulable ${𝒪}_F$-analytic $({\varphi }_q,\Gamma )$-modules of rank $2$, Algebra Number Theory, Volume 7 (2013) no. 10, pp. 2545-2592 | MR

[KR09] Kisin, M.; Ren, W. Galois representations and Lubin-Tate groups, Doc. Math., Volume 14 (2009), pp. 441-461 | MR | Zbl

[Lub94] Lubin, J. Non-Archimedean dynamical systems, Compositio Math., Volume 94 (1994) no. 3, pp. 321-346 | Numdam | MR | Zbl

[Sch06] Scholl, A. J. Higher fields of norms and $(\phi ,\Gamma )$-modules, Doc. Math. (2006), pp. 685-709 (Extra Volume: John H. Coates’ Sixtieth Birthday) | MR | Zbl

[Sen72] Sen, S. Ramification in $p$-adic Lie extensions, Invent. Math., Volume 17 (1972), pp. 44-50 | MR | Zbl

[Win83] Wintenberger, J.-P. Le corps des normes de certaines extensions infinies de corps locaux; applications, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), Volume 16 (1983) no. 1, pp. 59-89 | Numdam | MR | Zbl