Lifting the field of norms

Berger, Laurent

Journal de l’École polytechnique — Mathématiques, Tome 1 (2014), pp. 29-38.

Soit $K$ une extension finie de ${\mathbf{Q}}_p$. Le corps des normes d’une extension de Lie $p$-adique $K_{\infty }/K$ est un corps local de caractéristique $p$ muni d’une action de $\mathrm{Gal}(K_{\infty }/K)$. Quand peut-on relever cette action en caractéristique nulle, en même temps qu’une application de Frobenius compatible ? Dans cette note, nous formulons de manière précise cette question, expliquons son intérêt pour la théorie des $(\varphi ,\Gamma )$-modules et donnons une condition pour l’existence de certains types de relèvements.

Let $K$ be a finite extension of ${\mathbf{Q}}_p$. The field of norms of a $p$-adic Lie extension $K_{\infty }/K$ is a local field of characteristic $p$ which comes equipped with an action of $\mathrm{Gal}(K_{\infty }/K)$. When can we lift this action to characteristic $0$, along with a compatible Frobenius map? In this note, we formulate precisely this question, explain its relevance to the theory of $(\varphi ,\Gamma )$-modules, and give a condition for the existence of certain types of lifts.

Classification : 11S15, 11S20, 11S25, 11S31, 11S82, 13F25
Keywords: Field of norms, $(\phi ,\Gamma )$-module, $p$-adic representation, anticyclotomic extension, Cohen ring, non-Archimedean dynamical system
Mot clés : Corps des normes, $(\phi ,\Gamma )$-module, représentation $p$-adique, extension anticyclotomique, anneau de Cohen, système dynamique non archimédien

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