Some decay properties for the damped wave equation on the torus

Anantharaman, Nalini; Léautaud, Matthieu

Journées équations aux dérivées partielles (2012), article no. 6, 21 p.

Cet article est la version courte d’un travail en cours [1], et a fait l’objet d’un exposé du second auteur au cours des Journées “Équations aux Dérivées Partielles” (Biarritz, 2012).

On s’intéresse aux taux de décroissance de l’énergie pour l’équation des ondes amorties dans des situations où le coefficient d’amortissement $b$ ne satisfait pas la condition de contrôle géométrique. On donne tout d’abord un lien avec la contrôlabilité de l’équation de Schrödinger associée. On montre que l’observabilité du groupe de Schrödinger implique la décroissance à taux $1/\sqrt{t}$ du semigroupe des ondes amorties (taux meilleur que le taux logarithmique a priori fourni par le théorème de Lebeau).

Dans un second temps, on se focalise sur le tore 2-D. Toujours en supposant que le contrôle géométrique n’est pas réalisé, on montre que le semigroupe décroît au mieux à taux $1/t$. Réciproquement, pour des coefficients d’amortissements $b$ réguliers, on prouve la décroissance à taux $1/t^{1-\epsilon }$, pour tout $\epsilon >0$.

Dans le cas où le le coefficient d’amortissement est la fonction caractéristique d’une bande (donc discontinu), on effectue des simulations numériques qui semblent exhiber un taux de décroissance strictement pire que $1/t$.

En particulier, notre étude tend à montrer que le taux de décroissance dépend fortement du taux d’annulation de $b$.

This article is a proceedings version of the ongoing work [1], and has been the object of a talk of the second author during the Journées “Équations aux Dérivées Partielles” (Biarritz, 2012).

We address the decay rates of the energy of the damped wave equation when the damping coefficient $b$ does not satisfy the Geometric Control Condition (GCC). First, we give a link with the controllability of the associated Schrödinger equation. We prove that the observability of the Schrödinger group implies that the semigroup associated to the damped wave equation decays at rate $1/\sqrt{t}$ (which is a stronger rate than the general logarithmic one predicted by the Lebeau Theorem).

Second, we focus on the 2-dimensional torus. We prove that the best decay one can expect is $1/t$, as soon as the damping region does not satisfy GCC. Conversely, for smooth damping coefficients $b$, we show that the semigroup decays at rate $1/t^{1-\epsilon }$, for all $\epsilon >0$.

In the case where the damping coefficient is a characteristic function of a strip (hence discontinuous), we give numerical evidence of decay rates strictly worse than $1/t$. In particular, our study tends to prove that the decay rate highly depends on the way $b$ vanishes.

Classification : 35A21, 35L05, 35P20, 35B35, 35S05, 93C20
Keywords: Damped wave equation, polynomial decay, observability, Schrödinger group, torus, two-microlocal semiclassical measures, spectrum of the damped wave operator.
Mot clés : Equation des ondes amorties, décroissance polynomiale, observabilité, groupe de Schrödinger, tore, mesures semiclassiques deux-microlocales, spectre de l’opérateur des ondes amorties.

[1] Anantharaman, N.; Léautaud, M. Decay rates for the damped wave equation on the torus, preprint (2012)

[2] Anantharaman, N.; Macià, F. Semiclassical measures for the Schrödinger equation on the torus, preprint (2011)

[3] Anantharaman, N.; Rivière, G. Dispersion and controllability for the Schrödinger equation on negatively curved manifolds, to appear in Analysis and PDE (2010) | MR | Zbl

[4] Asch, M.; Lebeau, G. The spectrum of the damped wave operator for a bounded domain in ${\mathbf{R}}^2$, Experiment. Math., Volume 12 (2003) no. 2, pp. 227-241 | MR | Zbl

[5] Bardos, C.; Lebeau, G.; Rauch, J. Sharp sufficient conditions for the observation, control, and stabilization of waves from the boundary, SIAM J. Control Optim., Volume 30 (1992), pp. 1024-1065 | MR | Zbl

[6] Batty, C. J. K.; Duyckaerts, T. Non-uniform stability for bounded semi-groups on Banach spaces, J. Evol. Equ., Volume 8 (2008) no. 4, pp. 765-780 | MR | Zbl

[7] Borichev, A.; Tomilov, Y. Optimal polynomial decay of functions and operator semigroups, Math. Ann., Volume 347 (2010) no. 2, pp. 455-478 | MR | Zbl

[8] Burq, N. Décroissance de l’énergie locale de l’équation des ondes pour le problème extérieur et absence de résonance au voisinage du réel, Acta Math., Volume 180 (1998) no. 1, pp. 1-29 | MR | Zbl

[9] Burq, N.; Hitrik, M. Energy decay for damped wave equations on partially rectangular domains, Math. Res. Lett., Volume 14 (2007) no. 1, pp. 35-47 | MR | Zbl

[10] Burq, N.; Zworski, M. Geometric control in the presence of a black box, J. Amer. Math. Soc., Volume 17 (2004) no. 2, pp. 443-471 | MR | Zbl

[11] Burq, N.; Zworski, M. Control for Schrödinger operators on tori, preprint. (2011) | MR

[12] Christianson, H. Corrigendum to “Semiclassical non-concentration near hyperbolic orbits” [J. Funct. Anal. 246 (2) (2007) 145–195], J. Funct. Anal., Volume 258 (2010) no. 3, pp. 1060-1065 | MR | Zbl

[13] Fermanian-Kammerer, C. Mesures semi-classiques 2-microlocales, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., Volume 331 (2000) no. 7, pp. 515-518 | MR | Zbl

[14] Fermanian-Kammerer, C. Analyse à deux échelles d’une suite bornée de $L^2$ sur une sous-variété du cotangent, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Volume 340 (2005) no. 4, pp. 269-274 | MR | Zbl

[15] Gérard, P. Microlocal defect measures, Comm. Partial Differential Equations, Volume 16 (1991) no. 11, pp. 1761-1794 | MR | Zbl

[16] Gérard, P.; Leichtnam, E. Ergodic properties of eigenfunctions for the Dirichlet problem, Duke Math. J., Volume 71 (1993) no. 2, pp. 559-607 | MR | Zbl

[17] Haraux, A. Séries lacunaires et contrôle semi-interne des vibrations d’une plaque rectangulaire, J. Math. Pures Appl. (9), Volume 68 (1989) no. 4, p. 457-465 (1990) | MR | Zbl

[18] Jaffard, S. Contrôle interne exact des vibrations d’une plaque rectangulaire, Portugal. Math., Volume 47 (1990) no. 4, pp. 423-429 | MR | Zbl

[19] Komornik, V. On the exact internal controllability of a Petrowsky system, J. Math. Pures Appl. (9), Volume 71 (1992) no. 4, pp. 331-342 | MR | Zbl

[20] Lebeau, G. Contrôle de l’équation de Schrödinger, J. Math. Pures Appl. (9), Volume 71 (1992) no. 3, pp. 267-291 | Zbl

[21] Lebeau, G. Équation des ondes amorties, Algebraic and geometric methods in mathematical physics (Kaciveli, 1993) (Math. Phys. Stud.), Volume 19, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1996, pp. 73-109 | MR | Zbl

[22] Lebeau, G.; Robbiano, L. Stabilisation de l’équation des ondes par le bord, Duke Math. J., Volume 86 (1997), pp. 465-491 | MR | Zbl

[23] Liu, Z.; Rao, B. Characterization of polynomial decay rate for the solution of linear evolution equation, Z. Angew. Math. Phys., Volume 56 (2005) no. 4, pp. 630-644 | MR | Zbl

[24] Macià, F. High-frequency propagation for the Schrödinger equation on the torus, J. Funct. Anal., Volume 258 (2010) no. 3, pp. 933-955 | MR | Zbl

[25] Miller, L. Short waves through thin interfaces and 2-microlocal measures, Journées “Équations aux Dérivées Partielles” (Saint-Jean-de-Monts, 1997), École Polytech., Palaiseau, 1997, pp. Exp. No. XII, 12 | MR | Zbl

[26] Miller, L. Controllability cost of conservative systems: resolvent condition and transmutation, J. Funct. Anal., Volume 218 (2005) no. 2, pp. 425-444 | MR | Zbl

[27] Phung, K.-D. Polynomial decay rate for the dissipative wave equation, J. Differential Equations, Volume 240 (2007) no. 1, pp. 92-124 | MR | Zbl

[28] Ramdani, K.; Takahashi, T.; Tenenbaum, G.; Tucsnak, M. A spectral approach for the exact observability of infinite-dimensional systems with skew-adjoint generator, J. Funct. Anal., Volume 226 (2005) no. 1, pp. 193-229 | MR | Zbl

[29] Rauch, J.; Taylor, M. Exponential decay of solutions to hyperbolic equations in bounded domains, Indiana Univ. Math. J., Volume 24 (1974), pp. 79-86 | MR | Zbl

[30] Schenck, E. Exponential stabilization without geometric control, Math. Res. Lett., Volume 18 (2011) no. 2, pp. 379-388 | MR | Zbl