Problèmes mixtes hyperboliques bien-posés

Coulombel, Jean-François

Journées équations aux dérivées partielles (2004), article no. 5, 13 p.

On présente une famille de problèmes mixtes hyperboliques linéaires bien-posés au sens de Hadamard. La nouveauté consiste à autoriser une perte de régularité entre les termes source et la solution. On montre ainsi que la condition de Lopatinskii faible est suffisante pour obtenir le caractère bien-posé des problèmes mixtes hyperboliques linéaires.

Classification : 35L50, 35L40

[1] Agmon, S. Problèmes mixtes pour les équations hyperboliques d’ordre supérieur, Les Équations aux Dérivées Partielles, Éditions du CNRS,Paris, 1963, pp. 13-18 | MR | Zbl

[2] Bony, J.-M. Calcul symbolique et propagation des singularités pour les équations aux dérivées partielles non linéaires, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), Volume 14 (1981) no. 2, pp. 209-246 | Numdam | MR | Zbl

[3] Chazarain, J. A. Piriou Introduction to the theory of linear partial differential equations, North-Holland Publishing Co., 1982 | MR

[4] Coulombel, J.-F. P. Secchi The stability of compressible vortex sheets in two space dimensions, Indiana Univ. Math. J. (2004, à paraître) | MR | Zbl

[5] Coulombel, J.-F. Weakly stable multidimensional shocks, Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire, Volume 21 (2004) no. 4, pp. 401-443 | Numdam | MR | Zbl

[6] Coulombel, J.-F. Well-posedness of hyperbolic Initial Boundary Value Problems, Preprint (2004)

[7] Gérard, P. J. Rauch Propagation de la régularité locale de solutions d’équations hyperboliques non linéaires, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), Volume 37 (1987) no. 3, pp. 65-84 | Numdam | MR | Zbl

[8] Guès, O. Problème mixte hyperbolique quasi-linéaire caractéristique, Comm. Partial Differential Equations, Volume 15 (1990) no. 5, pp. 595-645 | MR | Zbl

[9] Kreiss, H.-O. Initial Boundary Value Problems for Hyperbolic Systems, Comm. Pure Appl. Math., Volume 23 (1970), pp. 277-298 | MR | Zbl

[10] Lax, P. D. R. S. Phillips Local boundary conditions for dissipative symmetric linear differential operators, Comm. Pure Appl. Math., Volume 13 (1960), pp. 427-455 | MR | Zbl

[11] Majda, A. S. Osher Initial-boundary value problems for hyperbolic equations with uniformly characteristic boundary, Comm. Pure Appl. Math., Volume 28 (1975) no. 5, pp. 607-675 | MR | Zbl

[12] Majda, A. The stability of multi-dimensional shock fronts, Memoirs Amer. Math. Soc., Volume 275 (1983) | Zbl

[13] Métivier, G. Stability of multidimensional shocks, Advances in the theory of shock waves, Birkhäuser, 2001, pp. 25-103 | MR | Zbl

[14] Meyer, Y. Remarques sur un théorème de J. M. Bony, Supplemento ai Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Serie II, Volume 1 (1981), pp. 1-20 | MR | Zbl

[15] Miles, J. W. On the disturbed motion of a plane vortex sheet, J. Fluid Mech., Volume 4 (1958), pp. 538-552 | MR | Zbl

[16] Mokrane, A. Problèmes mixtes hyperboliques non-linéaires, Ph.D. Thesis, Université de Rennes I (1987)

[17] Rauch, J. ${ℒ}_2$ is a continuable initial condition for Kreiss’ mixed problems, Comm. Pure Appl. Math., Volume 25 (1972), pp. 265-285 | MR | Zbl

[18] Sablé-Tougeron, M. Existence pour un problème de l’élastodynamique Neumann non linéaire en dimension $2$, Arch. Rational Mech. Anal., Volume 101 (1988) no. 3, pp. 261-292 | MR | Zbl

[19] Sakamoto, R. Hyperbolic boundary value problems, Cambridge University Press, Cambridge, 1982 | MR | Zbl

[20] Secchi, P. Well-posedness of characteristic symmetric hyperbolic systems, Arch. Rational Mech. Anal., Volume 134 (1996) no. 2, pp. 155-197 | MR | Zbl

[21] Serre, D. Systems of conservation laws. 2, Cambridge University Press, Cambridge, 2000 | MR | Zbl

[22] Taylor, M. E. Rayleigh waves in linear elasticity as a propagation of singularities phenomenon, Partial differential equations and geometry (Proc. Conf., Park City, Utah, 1977), Dekker, 1979, pp. 273-291 | MR | Zbl