Conditions de Bohr-Sommerfeld pour les singularités focus-focus et monodromie quantique

Vũ Ngọc, San

Journées équations aux dérivées partielles (1998), article no. 14, 13 p.

Je présenterai les résultats d’une étude microlocale détaillée du spectre joint de deux opérateurs h-pseudo-différentiels qui commutent sur une variété de dimension deux en présence d’une singularité dite «focus-focus». L’étude couvre par exemple le cas du pendule sphérique étudié par Duistermaat, ou du fond de la bouteille de champagne, mais les phénomènes observés sont universels. On en observe principalement deux: une accumulation de valeurs propres au voisinage de la singularité en $O\left(log\right(h\left)\right)$ par rapport au cas régulier, des phénomènes globaux autour de la singularité liés à la monodromie du système. L’étude s’inspire des travaux de Y. Colin de Verdière et B. Parisse et s’appuie sur l’écriture de conditions du type Bohr-Sommerfeld adaptées à la singularité. Les résultats seront illustrés en utilisant des calculs numériques de valeurs propres effectués par M.S. Child dans le cas de la bouteille de champagne.

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