Sur l'équation de Ginzburg-Landau avec champ magnétique

Serfaty, Sylvia

Journées équations aux dérivées partielles (1998), article no. 12, 13 p.

On étudie la fonctionnelle d’énergie de Ginzburg-Landau

$$J(u,A)=\frac{1}{2}{\int }_{\Omega }|{\nabla }_A{u|}^2+|h-h_{ex}{|}^2+\frac{{\kappa }^2}{2}{(1-|u|}^2{)}^2,$$

qui modélise les supraconducteurs cylindriques soumis à un champ magnétique extérieur $h_{ex}$, dans l’asymptotique $\kappa \to \infty$. On trouve et on décrit des branches de solutions stables des équations associées. On a une estimation sur la valeur critique $H_{c_1}\left(\kappa \right)$ de $h_{ex}$ correspondant à une «transition de phase» où des vortex (c.à.d. zéros de $u$) deviennent énergétiquement favorables. On obtient également dans le cas d’un disque, que pour $h_{ex}\le H_{c_1}$ comme pour $h_{ex}\ge H_{c_1}$, il existe à la fois une solution sans vortex (unique), et des solutions à nombre de vortex arbitraires, chacune étant stable et minimisant l’énergie pour des domaines de champs précisés. En outre, les positions de leurs vortex tendent (lorsque $\kappa \to \infty$) à minimiser une fonction explicite simple, formant ainsi une sorte de réseau tel qu’on en observe physiquement.

[1] A. Abrikosov, On the Magnetic Properties of Superconductors of the Second Type, Soviet Phys. JETP 5, (1957), 1174-1182.

[2] L. Almeida and F. Bethuel, Topological Methods for the Ginzburg-Landau Equations, J. Math. Pures Appl., 77, (1998), 1-49. | MR | Zbl

[3] H. Berestycki, A. Bonnet and J. Chapman, A Semi-Elliptic System Arising in the Theory of Type-II Superconductivity, Comm. Appl. Nonlinear Anal., 1, n° 3, (1994), 1-21. | MR | Zbl

[4] F. Bethuel, H. Brezis and F. Hélein, Ginzburg-Landau Vortices, Birkhäuser, (1994). | MR | Zbl

[5] F. Bethuel and T. Rivière, Vortices for a Variational Problem Related to Superconductivity, Annales IHP, Analyse non linéaire, 12, (1995), 243-303. | Numdam | MR | Zbl

[6] F. Bethuel et T. Rivière, Vorticité dans les modèles de Ginzburg-Landau pour la supraconductivité, Séminaire E.D.P. de l'École Polytechnique, exposé XVI, (1994). | Numdam | MR | Zbl

[7] F.H. Lin and Q. Du, Ginzburg-Landau Vortices : Dynamics, Pinning, and Hysteresis, Siam J. Math. Anal., 28, (1997), 1265-1293. | MR | Zbl

[8] P.G. Degennes, Superconductivity of Metal and Alloys, Benjamin, New York and Amsterdam, 1966. | Zbl

[9] S. Gueron and I. Shafrir, On a Discrete Variational Problem Involving Interacting Particles, preprint. | Zbl

[10] S. Serfaty, Local Minimizers for the Ginzburg-Landau Energy near Critical Magnetic Field, prépublication Université de Paris-Sud, 97. | Zbl

[11] S. Serfaty, Stable Configurations in Superconductivity : Uniqueness, Multiplicity and Vortex-Nucleation, prépublication Université de Paris-Sud, 98. | Zbl

[12] S. Serfaty, Solutions stables de l'équation de Ginzburg-Landau en présence de champ magnétique, Note aux C.R.A.S., tome 326 n° 8, série I, (1998), 955. | MR | Zbl

[13] E. Sandier et S. Serfaty, en préparation.

[14] D. Saint-James, G. Sarma and E.J. Thomas, Type-II Superconductivity, Pergamon Press, (1969).

[15] D. Tilley and J. Tilley, Superfluidity and Superconductivity, 2d edition, Adam Hilger Ltd., Bristol, 1986.