Analyse de récession et résultats de stabilité d'une convergence variationnelle, application à la théorie de la dualité en programmation mathématique

Mentagui, Driss

ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations, Tome 9 (2003), pp. 297-315.

Soit $X$ un espace de Banach de dual topologique $X^{\text{'}}$. $𝒞\left(X\right)$ (resp. $𝒞\left(X^{\text{'}}\right)$) désigne l’ensemble des parties non vides convexes fermées de $X$ (resp. $w^{*}$-fermées de $X^{\text{'}}$) muni de la topologie de la convergence uniforme sur les bornés des fonctions distances. Cette topologie se réduit à celle de la métrique de Hausdorff sur les convexes fermés bornés [16] et admet en général une représentation en terme de cette dernière [11]. De plus, la métrique qui lui est associée s’est révélée très adéquate pour l’étude quantitative de la stabilité et l’approximation des solutions d’une large classe de problèmes en optimisation convexe [6, 7, 8, 9]. Dans cet article, nous montrons que, sous des conditions de qualification naturelles, la stabilité de la convergence associée à la topologie définie sur $𝒞\left(X\right)$ (resp. $𝒞\left(X^{\text{'}}\right)$) est conservée par une classe de transformations linéaires. En identifiant ensuite toute fonction convexe à son épigraphe et en se basant sur la version ensembliste de la stabilité, nous montrons que la convergence précitée est stable par certaines opérations de l’analyse convexe dont le rôle est fondamental en optimisation et en théorie de la dualité. L’hypothèse clé dans les conditions de qualification assurant la stabilité au niveau fonctionnel, est la notion d’inf-locale compacité d’une fonction convexe, introduite dans [28] et qui se traduit dans l’espace $X^{\text{'}}$ par la quasi-continuité de sa conjuguée. Nous généralisons ainsi les résultats de stabilité de McLinden et Bergstrom [31] puis ceux de Beer et Lucchetti [17] en dimension infinie. Notre étude s’achève enfin par une application à la théorie de la dualité en programmation mathématique dans le cas d’un espace de Banach non nécessairement réflexif.

Let $X$ be a Banach space and $X^{\text{'}}$ its continuous dual. $𝒞\left(X\right)$ (resp. $𝒞\left(X^{\text{'}}\right)$) denotes the set of nonempty convex closed subsets of $X$ (resp. $w^{*}$-closed subsets of $X^{\text{'}}$) endowed with the topology of uniform convergence of distance functions on bounded sets. This topology reduces to the Hausdorff metric topology on the closed and bounded convex sets [16] and in general has a Hausdorff-like presentation [11]. Moreover, this topology is well suited for estimations and constructive approximations [6, 7, 8, 9]. We prove here, that under natural qualification conditions, the stability of the convergence associated to the topology defined on $𝒞\left(X\right)$ (resp. $𝒞\left(X^{\text{'}}\right)$) is preserved by a class of linear transformations. Building on these results, and by identifing each convex function with its epigraph, the stability at the functional level is acquired towards some operations of convex analysis which play a basic role in convex optimization and duality theory. The key hypothesis in the qualification conditions ensuring the functional stability is the notion of inf-local compactness of a convex function introduced in [28] and expressed in the space $X^{\text{'}}$ by the quasi-continuity of its conjugate. Then we generalize the stability results of McLinden and Bergstrom [31] and the ones of Beer and Lucchetti [17] in infinite dimension case. Finally we give some applications in convex optimization and mathematical programming in general Banach spaces.

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