On the geometry of Goursat structures

Pasillas-Lépine, William; Respondek, Witold

ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations, Tome 6 (2001), pp. 119-181.

Une structure de Goursat sur une variété de dimension $n$ est une distribution $𝒟$ de rang deux telle que dim ${𝒟}^{\left(i\right)}=i+2$, pour $i=0,...,n-2$, où les ${𝒟}^{\left(i\right)}$ sont les éléments du drapeau dérivé de $𝒟$, définis par ${𝒟}^{\left(0\right)}=𝒟$ et ${𝒟}^{(i+1)}={𝒟}^{\left(i\right)}+[{𝒟}^{\left(i\right)},{𝒟}^{\left(i\right)}]$. Les structures de Goursat sont d’abord apparues dans les travaux de von Weber et de Cartan, qui ont montré que sur un ouvert dense elles peuvent être transformées en la forme normale de Goursat. Ensuite, les structures de Goursat ont été étudiées par Kumpera et Ruiz. Dans cet article, nous introduisons un nouvel invariant local pour les structures des Goursat, appelé le type de singulatité, et montrons que le vecteur de croissance et les courbes anormales de tous les éléments du drapeau dérivé sont déterminés par cet invariant. Nous donnons une analyse détaillée de toutes les courbes anormales et rigides. Nous montrons que ni les courbes anormales, lorsque $n\ge 6$, ni les courbes anormales de tous les éléments du drapeau dérivé, lorsque $n\ge 9$, determinent la classe d’équivalence locale d’une structure de Goursat. Cette dernière observation est déduite d’une version généralisée du théorème de Bäcklund. Nous proposons aussi une nouvelle preuve d’un théorème classique de Kumpera et Ruiz. Tous nos résultats sont illustrés par le camion avec $n$ remorques, qui, comme nous le montrons, s’avère être un modèle universel pour toutes les structures de Goursat.

A Goursat structure on a manifold of dimension $n$ is a rank two distribution $𝒟$ such that dim ${𝒟}^{\left(i\right)}=i+2$, for $0\le i\le n-2$, where ${𝒟}^{\left(i\right)}$ denote the elements of the derived flag of $𝒟$, defined by ${𝒟}^{\left(0\right)}=𝒟$ and ${𝒟}^{(i+1)}={𝒟}^{\left(i\right)}+[{𝒟}^{\left(i\right)},{𝒟}^{\left(i\right)}]$. Goursat structures appeared first in the work of von Weber and Cartan, who have shown that on an open and dense subset they can be converted into the so-called Goursat normal form. Later, Goursat structures have been studied by Kumpera and Ruiz. In the paper, we introduce a new local invariant for Goursat structures, called the singularity type, and prove that the growth vector and the abnormal curves of all elements of the derived flag are determined by this invariant. We provide a detailed analysis of all abnormal and rigid curves of Goursat structures. We show that neither abnormal curves, if $n\ge 6$, nor abnormal curves of all elements of the derived flag, if $n\ge 9$, determine the local equivalence class of a Goursat structure. The latter observation is deduced from a generalized version of Bäcklund’s theorem. We also propose a new proof of a classical theorem of Kumpera and Ruiz. All results are illustrated by the $n$-trailer system, which, as we show, turns out to be a universal model for all local Goursat structures.