De beaux groupes

Blossier, Thomas; Martin-Pizarro, Amador

Confluentes Mathematici, Tome 6 (2014) no. 1, pp. 29-41.

Dans une belle paire $(M,E)$ de modèles d’une théorie stable $T$ ayant élimination des imaginaires sans la propriété de recouvrement fini, tout groupe définissable se projette, à isogénie près, sur les points $E$-rationnels d’un groupe définissable dans le réduit à paramètres dans $E$. Le noyau de cette projection est un groupe définissable dans le réduit.

Un groupe interprétable dans une paire $(K,F)$ de corps algébriquement clos où $K$ est une extension propre de $F$ est, à isogénie près, l’extension des points $F$-rationnels d’un groupe algébrique sur $F$ par un groupe interprétable quotient d’un groupe algébrique par les points $F$-rationnels d’un sous-groupe algébrique, le tout défini sur $F$.

In this short paper, we characterise definable groups in a beautiful pair $(M,E)$ of models of a stable theory $T$ having elimination of imaginaries without the finite cover property: every definable group is (up to isogeny) the extension of the $E$-rational points of a group definable in the theory $T$ over $E$ by a group definable in $T$.

Furthermore, if $F⊊K$ is a proper extension of algebraically closed fields, every interpretable group in the pair $(K,F)$ is, up to isogeny, the extension of the subgroup of $F$-rational points of an algebraic group over $F$ by an interpretable group which is the quotient of an algebraic group by the $F$-rational points of an algebraic subgroup.

Classification : 03C45
Mots clés : Model Theory, Groups, Pairs

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