Quelques problèmes de cohomologie galoisienne

Serre, Jean-Pierre

Notes prises par : Bayer, E. ; Goldstein, C.

Cours de Jean-Pierre Serre, no. 12 (1991) , 234 p.

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Serre, Jean-Pierre. Quelques problèmes de cohomologie galoisienne. Cours de Jean-Pierre Serre, no. 12 (1991), Bayer, E.; Goldstein, C. (red.), 234 p. http://numdam.org/item/CJPS_1991__12_/

Sommaire

Annuaire du Collège de France - Résumé des cours et travaux 1990-1991	p. iii
Table des matières	p. T-1
Définitions	p. 1
Historique	p. 2
Références	p. 5
Rappels sur la torsion	p. 9
Octonions	p. 11
Produits croisés	p. 13
Rappels sur les formes quadratiques	p. 15
Coniques et quaternions	p. 20
La formule $δ x = x^{2}$	p. 23
Classes de cohomologie négligeables	p. 25
Une formule de cobord	p. 26
${Br}_{p} K$ en caract. $p > 0$	p. 31
Invariants cohomologiques des formes quadratiques	p. 34
Un autre invariant (rang pair $\geq 4$ , $disc = 1$ )	p. 36
$K^{} / N D^{} \to H^{3} (K)$ d’après Mercuriev-Suslin	p. 41
Anneau de Witt et conjectures de Milnor	p. 44
Cohomologie du groupe orthogonal, le groupe $\tilde{O} (q)$	p. 50
(B. Kahn) Formes de Pfister	p. 53
(B. Kahn) Théorème d’Arason-Pfister	p. 58
(B. Kahn) Invariant d’Arason	p. 59
(B. Kahn) Existence de $e_{F}^{3}$ , $e_{F}^{4}$	p. 61
Retour à $O (q)$ et $\tilde{O} (q)$ ; les cobords $δ^{1}$ et $δ^{2}$	p. 63
La formule $w_{2} (q_{α}) = w_{2} (q) + w_{1} (q) \cdot δ^{1} (α) + δ^{2} (α)$	p. 65
Remarque sur $H^{1} (K, G_{2})$	p. 68
Remarques sur la caract. $2$	p. 68
L’invariant $i_{3}$ à valeurs dans $H^{3} (K)$	p. 70
Applications de $i_{3}$ à la cohomologie de $G_{2}$ , $F_{4}$ , $E_{8}$	p. 72
Le cas de $G_{2}$	p. 77
Le cas de $F_{4}$	p. 84
Formes quadratiques : théorèmes d’injectivité du $H^{1}$	p. 88
Théorème de simplification d’Arason-Pfister ( $q ⟼ q \otimes q^{'}$ , $rg q^{'}$ impair)	p. 91
Théorème de simplification de Witt	p. 92
Théorème de simplification de Springer	p. 94
Questions	p. 100
Forme trace : cas des algèbres centrales simples ; p. 102 : alg. de rang 9	p. 101
Retour à $G_{2}$ : table	p. 111
Produit tensoriel de 2 algèbres de quaternions	p. 112
Puissances divisées (si $- 1$ est un carré)	p. 114
Forme trace des corps et des algèbres étales	p. 118
$q_{E}$ contient $〈 1, ..., 1 〉$ , resp. $〈 2, 1, ..., 1 〉$	p. 120
$H^{1} (S_{n})$ et $H^{2} (S_{n})$	p. 123
La formule $w_{2} (q_{E}) = φ_{E}^{*} (S_{n}) + (2) w_{1} (q_{E})$	p. 126
Applications et exemples ; équation du 5e degré	p. 131
Le cas de $A_{6}$ ; l’invariant dans $H^{3} (K)$ ?	p. 140
Automorphisme externe de $A_{6}$ ; la formule $q ’_{E} ≃ 2 q_{E}$	p. 142
Retour sur l’équation du 5e degré (corps finis)	p. 145
Algèbres à involution	p. 146
Lien avec les groupes classiques	p. 149
Les deux théorèmes d’Albert	p. 151
Corrections	p. 158
Unitaires et hermitiens	p. 158
$H^{1} (K, {\underset{̲}{U}}_{A}) ≃$ classes d’hermitiens inversibles	p. 160
Invariants de tenseurs quadratiques	p. 163
Le théorème de Bayer-Lenstra	p. 165
(E. Bayer) Le théorème de simplification de Witt dans le cas hermitien	p. 168
$G$ -formes quadratiques	p. 176
$G$ -algèbres galoisiennes	p. 177
BNA = belle base	p. 179
Obstruction dans $H^{1} (K, U_{G})$	p. 181
Théorème de Bayer-Lenstra	p. 181
Le cas où ${cd}_{2} K \leq 1$	p. 184
Parenthèse sur la structure de $U_{G}$	p. 188
Le cas où $K$ est un corps de nombres et où $H^{1} (G) = H^{2} (G) = 0$	p. 191
Le cas où le $2$ -Sylow de $G$ est abélien élémentaire : énoncé des résultats	p. 196
Exemples	p. 200
Démonstrations	p. 206