Similitude des multiples des formes d'Albert en caractéristique 2

Hoffmann, Detlev W.; Laghribi, Ahmed

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 141 (2013) no. 2, pp. 343-354.

Étant donnés $F$ un corps commutatif de caractéristique $2$, ${\gamma }_1,{\gamma }_2$ des formes bilinéaires d’Albert et ${\pi }_1,{\pi }_2$ des $k$-formes quadratiques de Pfister, ou ${\gamma }_1,{\gamma }_2$ des $k$-formes bilinéaires de Pfister et ${\pi }_1,{\pi }_2$ des formes quadratiques d’Albert (resp. ${\gamma }_1,{\gamma }_2$ des formes bilinéaires d’Albert et ${\pi }_1,{\pi }_2$ des $k$-formes bilinéaires de Pfister avec la condition que ${\gamma }_i\otimes {\pi }_i$, $i=1,2$, soient anisotropes), alors on montre que ${\gamma }_1\otimes {\pi }_1\perp {\gamma }_2\otimes {\pi }_2\in I_q^{k+3}F$ (resp. $I^{k+3}F$) si et seulement si ${\gamma }_1\otimes {\pi }_1$ est semblable à ${\gamma }_2\otimes {\pi }_2$. Un exemple montre que la condition de l’anisotropie est nécessaire dans le cas bilinéaire.

Let $F$ be a field of characteristic $2$. Let ${\gamma }_1,{\gamma }_2$ be Albert bilinear forms and ${\pi }_1,{\pi }_2$ quadratic $k$-Pfister forms, or ${\gamma }_1,{\gamma }_2$ bilinear $k$-Pfister forms and ${\pi }_1,{\pi }_2$ Albert quadratic forms (resp. ${\gamma }_1,{\gamma }_2$ Albert bilinear forms and ${\pi }_1,{\pi }_2$ bilinear $k$-Pfister forms with the condition that ${\gamma }_i\otimes {\pi }_i$, $i=1,2$, are anisotropic). Then we show that ${\gamma }_1\otimes {\pi }_1\perp {\gamma }_2\otimes {\pi }_2\in I_q^{k+3}F$ (resp. $I^{k+3}F$) if and only if ${\gamma }_1\otimes {\pi }_1$ is similar to ${\gamma }_2\otimes {\pi }_2$. We give an example which shows that the anisotropy condition is necessary in the bilinear case.

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