Natural endomorphisms of quasi-shuffle Hopf algebras

Novelli, Jean-Christophe; Patras, Frédéric; Thibon, Jean-Yves

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 141 (2013) no. 1, pp. 107-130.

L’algèbre de Hopf des fonctions quasi-symétriques sur les mots ($\mathrm{𝐖𝐐𝐒𝐲𝐦}$), une généralisation non commutative de l’algèbre de Hopf des fonctions quasi-symétriques, peut être munie d’un produit interne qui a des propriétés remarquables de compatibilité aux autres opérations sur $\mathrm{𝐖𝐐𝐒𝐲𝐦}$. Cette construction étend des constructions familières et centrales de la théorie des algèbres de Lie libres, des fonctions non commutatives symétriques et de leurs nombreux domaines d’application. Elle permet aussi d’interpréter $\mathrm{𝐖𝐐𝐒𝐲𝐦}$ comme algèbre de convolution des endomorphismes linéaires des algèbres quasi-shuffle. Nous utilisons cette interprétation pour étudier la structure fine des algèbres quasi-shuffle (MZVs, algèbres de Rota-Baxter libres...). En particulier, nous étudions leurs opérations d’Adams et prouvons l’existence d’un inverse à gauche canonique à la surjection naturelle vers les indécomposables ; elle donne lieu à une construction combinatoire de leurs générateurs polynomiaux.

The Hopf algebra of word-quasi-symmetric functions ($\mathrm{𝐖𝐐𝐒𝐲𝐦}$), a noncommutative generalization of the Hopf algebra of quasi-symmetric functions, can be endowed with an internal product that has several compatibility properties with the other operations on $\mathrm{𝐖𝐐𝐒𝐲𝐦}$. This extends constructions familiar and central in the theory of free Lie algebras, noncommutative symmetric functions and their various applications fields, and allows to interpret $\mathrm{𝐖𝐐𝐒𝐲𝐦}$ as a convolution algebra of linear endomorphisms of quasi-shuffle algebras. We then use this interpretation to study the fine structure of quasi-shuffle algebras (MZVs, free Rota-Baxter algebras...). In particular, we compute their Adams operations and prove the existence of generalized Eulerian idempotents, that is, of a canonical left-inverse to the natural surjection map to their indecomposables, allowing for the combinatorial construction of free polynomial generators for these algebras.

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