Singularités à l'infini et intégration motivique

Raibaut, Michel

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 140 (2012) no. 1, pp. 51-100.

Soit $k$ un corps de caractéristique nulle et $f$ une fonction non constante définie sur une variété lisse. Nous définissons dans cet article une fibre de Milnor motivique à l'infini qui appartient à un anneau de Grothendieck des variétés. Elle est définie en termes d’une compactification choisie, non nécessairement lisse, mais est indépendante de ce choix. Lorsque $k$ est le corps des nombres complexes, en utilisant le morphisme de réalisation de Hodge, elle se réalise en le spectre à l’infini de $f$. Nous la calculons par exemple, dans le cas d’un polynôme non dégénéré pour son polyèdre de Newton à l’infini. Pour toute valeur $a$, nous définissons une fibre de Milnor motivique complète $S_{f,a}$ qui prolonge la fibre de Milnor motivique usuelle $S_{f-a}$. Ceci permet d’introduire des valeurs motiviquement atypiques, un ensemble de bifurcation motivique de $f$ et une notion de fonction motiviquement modérée.

Let $k$ be a field of characteristic zero and $f$ be a non constant function defined on a smooth variety. We construct in this article a motivic Milnor fiber at infinity which belongs to a Grothendieck ring of varieties. It is defined in terms of a chosen compactification, not necessary smooth, but is shown to be independent of this choice. When $k$ is the field of complex numbers, using the Hodge realization morphism, it specializes to the spectrum at infinity of $f$. As an example, we compute it in the case of a Laurent polynomial non-degenerated with respect to its Newton polyhedron at infinity. For each value $a$, we define a complete motivic Milnor fiber $S_{f,a}$. This object is an extension of the usual motivic Milnor fiber $S_{f-a}$. Then we introduce motivic atypical values, a motivic bifurcation set of $f$ and a notion of motivically tame function.

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