Induction automorphe globale pour les corps de nombres

Henniart, Guy

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 140 (2012) no. 1, pp. 1-17.

Soit $F$ un corps de nombres et soit $E$ une extension cyclique de $F$, de degré $d$. L’induction automorphe associe à une représentation automorphe cuspidale $\tau$ de ${\mathrm{GL}}_m\left({𝔸}_E\right)$ une représentation automorphe $\pi$ de ${\mathrm{GL}}_{md}\left({𝔸}_F\right)$, induite de cuspidale. La représentation $\pi$ est caractérisée par le fait qu’à presque toute place $v$ de $F$, le facteur $L({\pi }_v,s)$ est le produit des facteurs $L({\tau }_w,s)$, $w$ parcourant les places de $E$ au-dessus de $v$. Par la correspondance conjecturale de Langlands, cette opération doit correspondre à l’induction, de $E$ à $F$, des représentations galoisiennes. Nous prouvons l’existence de l’induite automorphe $\pi$ de $\tau$, et étudions les fibres et l’image de ce processus d’induction. Pour cela nous utilisons et étendons les résultats d’Arthur et Clozel sur le processus de changement de base, qui correspond à la restriction de $E$ à $F$ des représentations galoisiennes, et nous précisons le lien entre ces deux processus. De plus, nous prouvons que l’opération d’induction automorphe globale est compatible aux places finies à l’opération locale construite par R. Herb et l’auteur.

Let $F$ be a number field, $E$ a finite cyclic extension of $F$, $d$ its degree. Automorphic induction associates to a cuspidal automorphic representation $\tau$ of ${\mathrm{GL}}_m\left({𝔸}_E\right)$ an automorphic representation $\pi$ of ${\mathrm{GL}}_{md}\left({𝔸}_F\right)$, induced from cuspidal, and characterized by the fact that at almost all places $v$ of $F$, the factor $L({\pi }_v,s)$ is the product of the factors $L({\tau }_w,s)$, where $w$ runs through the places of $E$ above $v$. By the correspondence conjectured by Langlands, that process should correspond to inducing Galois representations from $E$ to $F$. We prove here that the representation $\pi$ automorphically induced from $\tau$ exists, and we study the fibres and the image of automorphic induction. For that we use and extend the results of Arthur and Clozel on base change, which corresponds to restricting Galois representations from $F$ to $E$, and we clarify the relations between the two processes. Moreover we prove that global automorphic induction is compatible, at finite places, with the local automorphic induction defined by R. Herb and the author.

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