Infinitesimal Morita homomorphisms and the tree-level of the LMO invariant

Massuyeau, Gwénaël

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 140 (2012) no. 1, pp. 101-161.

Soit $\Sigma$ une surface compacte orientée avec une composante de bord, et soit $\pi$ le groupe fondamental de $\Sigma$. La filtration de Johnson est une suite décroissante de sous-groupes du groupe de Torelli de $\Sigma$, dont le $k$-ième terme est constitué de tous les homéomorphismes de $\Sigma$ agissant trivialement au niveau du $k$-ième quotient nilpotent de $\pi$. Morita a défini un homomorphisme du $k$-ième terme de la filtration de Johnson vers le troisième groupe d’homologie du $k$-ième quotient nilpotent de $\pi$. Dans cet article, nous remplaçons les groupes par leurs algèbres de Lie de Malcev et nous étudions une version « infinitésimale » du $k$-ième homomorphisme de Morita, que nous montrons être équivalente à la version originale par un isomorphisme canonique. Nous apportons une description diagrammatique du $k$-ième homomorphisme de Morita infinitésimal et, étant donné un développement du groupe libre $\pi$ qui est « symplectique » en un sens, nous montrons comment cet homomorphisme peut être calculé à partir de l’« application de Johnson totale » introduite par Kawazumi. En outre, nous donnons une interprétation topologique de toute la réduction arborée de l’homomorphisme LMO, qui est une représentation diagrammatique du groupe de Torelli obtenue de l’invariant de Le-Murakami-Ohtsuki des variétés de dimension trois. Plus précisément, un développement symplectique de $\pi$ est construit à partir de l’invariant LMO, et nous montrons que la réduction arborée de l’homomorphisme LMO est équivalente à l’application de Johnson totale correspondant à ce développement. Il en découle que le $k$-ième homomorphisme de Morita coïncide avec la troncation en degré $[k,2k[$ de la réduction arborée de l’homomorphisme LMO. Nos résultats s’appliquent aussi au monoïde des cylindres d’homologie sur $\Sigma$.

Let $\Sigma$ be a compact connected oriented surface with one boundary component, and let $\pi$ be the fundamental group of $\Sigma$. The Johnson filtration is a decreasing sequence of subgroups of the Torelli group of $\Sigma$, whose $k$-th term consists of the self-homeomorphisms of $\Sigma$ that act trivially at the level of the $k$-th nilpotent quotient of $\pi$. Morita defined a homomorphism from the $k$-th term of the Johnson filtration to the third homology group of the $k$-th nilpotent quotient of $\pi$. In this paper, we replace groups by their Malcev Lie algebras and we study the “infinitesimal” version of the $k$-th Morita homomorphism, which is shown to correspond to the original version by a canonical isomorphism. We provide a diagrammatic description of the $k$-th infinitesimal Morita homomorphism and, given an expansion of the free group $\pi$ that is “symplectic” in some sense, we show how to compute it from Kawazumi’s “total Johnson map”. Besides, we give a topological interpretation of the full tree-reduction of the LMO homomorphism, which is a diagrammatic representation of the Torelli group derived from the Le-Murakami-Ohtsuki invariant of $3$-manifolds. More precisely, a symplectic expansion of $\pi$ is constructed from the LMO invariant, and it is shown that the tree-level of the LMO homomorphism is equivalent to the total Johnson map induced by this specific expansion. It follows that the $k$-th infinitesimal Morita homomorphism coincides with the degree $[k,2k[$ part of the tree-reduction of the LMO homomorphism. Our results also apply to the monoid of homology cylinders over $\Sigma$.

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