Invariance of the parity conjecture for $p$-Selmer groups of elliptic curves in a $D_{2p^n}$-extension

de La Rochefoucauld, Thomas

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 139 (2011) no. 4, pp. 571-592.

On démontre un résultat de $p$-parité, dans une extension galoisienne de corps de nombre de groupe $D_{2p^n}$, pour le twist $1\oplus \eta \oplus \tau$ : $W(E/K,1\oplus \eta \oplus \tau )={(-1)}^{〈1\oplus \eta \oplus \tau ,X_p(E/L)〉}$, où $E$ est une courbe elliptique définie sur $K$, $\eta$ et $\tau$ sont respectivement le caractère quadratique et une représentation irréductible de degré $2$ de $\mathrm{Gal}(L/K)=D_{2p^n}$, et $X_p(E/L)$ est le $p$-groupe de Selmer. La principale nouveauté est le fait que l’on utilise un résultat de congruence (dû à Deligne) pour déterminer les « root numbers » locaux dans les mauvais cas (les places additives au-dessus de $2$ et $3$). On donne aussi, en utilisant la machinerie des frères Dokchitser, deux applications à la conjecture de $p$-parité.

We show a $p$-parity result in a $D_{2p^n}$-extension of number fields $L/K$ ($p\ge 5$) for the twist $1\oplus \eta \oplus \tau$: $W(E/K,1\oplus \eta \oplus \tau )={(-1)}^{〈1\oplus \eta \oplus \tau ,X_p(E/L)〉}$, where $E$ is an elliptic curve over $K$, $\eta$ and $\tau$ are respectively the quadratic character and an irreductible representation of degree $2$ of $\mathrm{Gal}(L/K)=D_{2p^n}$, and $X_p(E/L)$ is the $p$-Selmer group. The main novelty is that we use a congruence result between ${\epsilon }_0$-factors (due to Deligne) for the determination of local root numbers in bad cases (places of additive reduction above 2 and 3). We also give applications to the $p$-parity conjecture (using the machinery of the Dokchitser brothers).

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