Le théorème de Bertini en famille
Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 139 (2011) no. 4, pp. 555-569.

On majore la dimension de l’ensemble des hypersurfaces de ℙ N dont l’intersection avec une variété projective intègre fixée n’est pas intègre. Les majorations obtenues sont optimales. Comme application, on construit, quand c’est possible, des hypersurfaces dont les intersections avec toutes les variétés d’une famille de variétés projectives intègres sont intègres. Le degré des hypersurfaces construites est explicite.

We give upper bounds for the dimension of the set of hypersurfaces of ℙ N whose intersection with a fixed integral projective variety is not integral. Our upper bounds are optimal. As an application, we construct, when possible, hypersurfaces whose intersections with all the varieties of a family of integral projective varieties are integral. The degree of the hypersurfaces we construct is explicit.

DOI : 10.24033/bsmf.2619
Classification : 14N05, 14J70
Mot clés : géométrie projective, hypersurfaces, théorèmes de Bertini
Keywords: projective geometry, hypersurfaces, Bertini theorems 
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[1] O. Debarre - « Varieties with ample cotangent bundle », Compos. Math. 141 (2005), p. 1445-1459. | MR | Zbl

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[3] -, « Éléments de géométrie algébrique. III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents. I », Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 11 (1961), p. 167. | Numdam | Zbl

[4] -, « Éléments de géométrie algébrique. IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas. I », Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 20 (1964), p. 259. | Numdam | Zbl

[5] -, « Éléments de géométrie algébrique. IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas. II », Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 24 (1965), p. 231. | Numdam | Zbl

[6] -, « Éléments de géométrie algébrique. IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas. III », Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 28 (1966), p. 255. | Numdam | Zbl

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[8] R. Hartshorne - Algebraic geometry, Graduate Texts in Math., vol. 52, Springer, 1977. | MR | Zbl

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[10] B. Poonen - « Bertini theorems over finite fields », Ann. of Math. 160 (2004), p. 1099-1127. | MR | Zbl

Cité par Sources :