An abcd theorem over function fields and applications
[Un théorème abcd sur les corps de fonctions et applications]
Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 139 (2011) no. 4, pp. 437-454.

Nous démontrons une minoration pour le nombre de zéros distincts d’une somme 1+u+v, u,v étant deux fonctions rationnelles, en fonction du degré de u et v ; cette minoration est forte si le nombre de zéros et poles de u,v est suffisament petit par rapport à leur degré. Dans certains cas, on obtient une amélioration de l’inégalité de Voloch et Brownawell-Masser, qui entraîne des nouveaux résultats de finitude sur les équations diophantiennes sur les corps de fonctions. Par exemple, nous démontrons que la surface de type Fermat définie par l’équation xa+ya+zc=1 ne contient qu’un nombre fini de courbes rationnelles ou elliptiques, dès que a≥104 et c≥2. Ce résultat constitue un cas particulier d’une célèbre conjecture de Bogomolov.

We provide a lower bound for the number of distinct zeros of a sum 1+u+v for two rational functions u,v, in term of the degree of u,v, which is sharp whenever u,v have few distinct zeros and poles compared to their degree. This sharpens the “abcd-theorem” of Brownawell-Masser and Voloch in some cases which are sufficient to obtain new finiteness results on diophantine equations over function fields. For instance, we show that the Fermat-type surface xa+ya+zc=1 contains only finitely many rational or elliptic curves, provided a≥104 and c≥2; this provides special cases of a known conjecture of Bogomolov.

DOI : 10.24033/bsmf.2613
Keywords: abc conjecture, function fields, curves on algebraic surfaces, S-units
Mot clés : conjecture abc, corps de fonctions, courbes sur une surface algébrique, S-unités 
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Corvaja, Pietro; Zannier, Umberto. An $abcd$ theorem over function fields and applications. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 139 (2011) no. 4, pp. 437-454. doi : 10.24033/bsmf.2613. https://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2613/

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