A note on signs of Kloosterman sums
[Une note sur les signes des sommes de Kloosterman]
Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 139 (2011) no. 3, pp. 287-295.

On montre que le signe des sommes de Kloosterman Kl(1,1;n) change une infinité de fois pour n parcourant les entiers sans facteur carré ayant au plus 15 facteurs premiers. Ceci améliore un résultat précédent de Sivak-Fischler qui avaient obtenu 18 à la place de 15. Notre amélioration provient de l’introduction d’une inégalité élémentaire donnant des bornes inférieures et supérieures pour le produit scalaire de deux suites dont les distributions propres sont connues.

We prove that the sign of Kloosterman sums Kl(1,1;n) changes infinitely often as n runs through the square-free numbers with at most 15 prime factors. This improves on a previous result by Sivak-Fischler who obtained 18 instead of 15. Our improvement comes from introducing an elementary inequality which gives lower and upper bounds for the dot product of two sequences whose individual distributions are known.

DOI : 10.24033/bsmf.2609
Classification : 11L05, 26D15
Keywords: Kloosterman sums, rearrangement inequality, Sato-Tate conjecture
Mot clés : sommes de Kloosterman, inégalité de réarrangement, conjecture de Sato-Tate 
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Matomäki, Kaisa. A note on signs of Kloosterman sums. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 139 (2011) no. 3, pp. 287-295. doi : 10.24033/bsmf.2609. http://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2609/

[1] T. Estermann - « On Kloosterman's sum », Mathematika 8 (1961), p. 83-86. | MR | Zbl

[2] E. Fouvry & P. Michel - « Crible asymptotique et sommes de Kloosterman », in Proceedings of the Session in Analytic Number Theory and Diophantine Equations, Bonner Mathematische Schriften, vol. 360, Univ. Bonn, 2003. | MR | Zbl

[3] -, « Sur le changement de signe des sommes de Kloosterman », Annals of Mathematics 165 (2007), p. 675-715. | MR | Zbl

[4] G. H. Hardy, J. E. Littlewood & G. Pólya - Inequalities, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2001, reprint of the 1954 Second Edition. | Zbl

[5] N. M. Katz - Gauss sums, Kloosterman sums, and monodromy groups, Princeton Univ. Press, Princeton, 1988. | MR | Zbl

[6] J. Sivak-Fischler - « Crible étrange et sommes de Kloosterman », Acta Arith. 128 (2007), p. 69-100. | MR | Zbl

[7] -, « Crible asymptotique et sommes de Kloosterman », Bull. Soc. Math. France 137 (2009), p. 1-62. | Numdam | MR | Zbl

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