Transformée de Radon semi-globale

Benchoufi, Mehdi

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 139 (2011) no. 2, pp. 145-161.

Dans cet article, nous nous proposons d’étudier le noyau, l’image et une éventuelle formule d’inversion de la transformation de Radon réelle dans les domaines linéairement concaves. Nous rappelons que, dans ${ℝ}^2$, on sait reconstruire une fonction à partir de sa transformation de Radon lorsque celle-ci est connue le long de toutes les droites de l’espace. Notre propos sera, en quelque sorte, d’établir une version semi-globale de ce résultat. Nous verrons ainsi que, modulo un noyau que nous préciserons, constitué de sauts de fonctions holomorphes, chacune définie sur un « wedge » et vérifiant dans leurs domaines respectifs une majoration en $𝒪\left(\frac{1}{{\left|z\right|}^2}\right)$ lorsque $\left|z\right|$ tend vers l’infini, une formule d’inversion est accessible dès lors que la transformation de Radon n’est connue qu’au voisinage d’une droite.

In this article, we mean to study the kernel, the image and a possible inversion formula for the real Radon transform in linearly concave domains. We recall that, in ${ℝ}^2$, we know how to reconstruct a function from its Radon transform when the latest is known all along every lines of the space. Our purpose will be somehow to establish a semi-global analogue of this result. In this way, we will see that, modulo a kernel we will precise, consisting of jumps of holomorphic functions, each of which is defined upon a “ wedge ” and submitted to an estimation in $𝒪\left(\frac{1}{{\left|z\right|}^2}\right)$ when $\left|z\right|$ tends to infinity, an inversion formula is reachable as soon as the Radon transform is known in the neighbourhood of a line.

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