Intrinsic pseudo-volume forms for logarithmic pairs

Dedieu, Thomas

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 138 (2010) no. 4, pp. 543-582.

Nous étudions une adaptation au cas logarithmique de la pseudo-forme volume de Kobayashi-Eisenman, ou plutôt une adaptation de sa variante définie par Claire Voisin, pour laquelle elle remplace les applications holomorphes par des $K$-correspondances holomorphes. Nous définissons une pseudo-forme volume logarithmique intrinsèque ${\Phi }_{X,D}$ pour toute paire $(X,D)$ constituée d’une variété complexe $X$ et d’un diviseur de Weil à croisements normaux $D$ sur $X$, dont la partie positive est réduite. Nous prouvons que ${\Phi }_{X,D}$ est génériquement non dégénérée quand $X$ est projective et $K_X+D$ est ample. Ce résultat est analogue au théorème de Kobayashi-Ochiai classique. Nous montrons aussi l’annulation de ${\Phi }_{X,D}$ pour une grande classe de paires log-$K$-triviales, ce qui est une étape importante en direction de la conjecture de Kobayashi sur l’hyperbolicité au sens de la mesure infinitésimale dans le cas logarithmique.

We study an adaptation to the logarithmic case of the Kobayashi-Eisenman pseudo-volume form, or rather an adaptation of its variant defined by Claire Voisin, for which she replaces holomorphic maps by holomorphic $K$-correspondences. We define an intrinsic logarithmic pseudo-volume form ${\Phi }_{X,D}$ for every pair $(X,D)$ consisting of a complex manifold $X$ and a normal crossing Weil divisor $D$ on $X$, the positive part of which is reduced. We then prove that ${\Phi }_{X,D}$ is generically non-degenerate when $X$ is projective and $K_X+D$ is ample. This result is analogous to the classical Kobayashi-Ochiai theorem. We also show the vanishing of ${\Phi }_{X,D}$ for a large class of log-$K$-trivial pairs, which is an important step in the direction of the Kobayashi conjecture about infinitesimal measure hyperbolicity in the logarithmic case.

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