Catégories dérivables

Cisinski, Denis-Charles

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 138 (2010) no. 3, pp. 317-393.

Ces notes sont consacrées à la construction de dérivateurs à partir d'une nouvelle notion de catégorie de modèles assez générale pour recouvrir les théories de Quillen, Thomason et Brown. On développe en particulier la théorie des catégories exactes dérivables (par exemple les catégories de Frobenius et les catégories biWaldhausen compliciales vérifiant de bonnes propriétés de stabilité homotopique), lesquelles donnent lieu à des dérivateurs triangulés. On donne une caractérisation combinatoire simple pour qu'un foncteur dérivé induise une équivalence de catégories (ou de dérivateur). Dans un dernier temps, on démontre que la notion de catégorie de modèles introduite ici est stable par passage aux catégories de préfaisceaux sur une petite catégorie arbitraire, propriété qui fait défaut à la structure de Quillen.

These notes are devoted to the construction of derivators from a new notion of model category which is general enough to recover the theories of Quillen, Thomason, and Brown. We develop, in particular, the theory of derivable exact categories (for instance, Frobenius categories or complicial biWaldhausen categories with nice homotopy stability properties), which give rise to triangulated derivators. We give a simple combinatorial characterization for a derived functor to induce an equivalence of categories (or of derivators). At last, we prove that the notion of model category we introduce here is stable by taking presheaf categories over an arbitrary small category, while this property is known to fail for the Quillen structure.

[1] K. S. Brown - « Abstract homotopy theory and generalized sheaf cohomology », Trans. Amer. Math. Soc. 186 (1974), p. 419-458. | MR | Zbl

[2] W. Chachólski & J. Scherer - « Homotopy theory of diagrams », Mem. Amer. Math. Soc. 155 (2002), p. 90. | MR | Zbl

[3] D.-C. Cisinski - « Images directes cohomologiques dans les catégories de modèles », Ann. Math. Blaise Pascal 10 (2003), p. 195-244. | Numdam | MR | Zbl

[4] -, « Les préfaisceaux comme modèles des types d'homotopie », Astérisque 308 (2006). | Numdam | Zbl

[5] -, « Propriétés universelles et extensions de Kan dérivées », Theory Appl. Categ. 20 (2008), p. 605-649. | MR | Zbl

[6] -, « Locally constant functors », Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 147 (2009), p. 593-614. | MR | Zbl

[7] -, « Invariance de la $K$-théorie par équivalences dérivées », à paraître dans J. $K$-theory. | Zbl

[8] D.-C. Cisinski & A. Neeman - « Additivity for derivator $K$-theory », Adv. Math. 217 (2008), p. 1381-1475. | MR | Zbl

[9] W. G. Dwyer, P. S. Hirschhorn, D. M. Kan & J. H. Smith - Homotopy limit functors on model categories and homotopical categories, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 113, Amer. Math. Soc., 2004. | MR | Zbl

[10] W. G. Dwyer & J. Spaliński - « Homotopy theories and model categories », in Handbook of algebraic topology, North-Holland, 1995, p. 73-126. | MR | Zbl

[11] P. Gabriel & M. Zisman - Calculus of fractions and homotopy theory, Ergebnisse Math. Grenzg., vol. 35, Springer New York, Inc., New York, 1967. | MR | Zbl

[12] A. Grothendieck - Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1), Documents Mathématiques, vol. 3, Soc. Math. France, 2003.

[13] -, « Dérivateurs », manuscrit, http://people.math.jussieu.fr/~maltsin/groth/Derivateurs.html.

[14] -, « Pursuing stacks », à paraître dans Documents mathématiques.

[15] D. Happel - « On the derived category of a finite-dimensional algebra », Comment. Math. Helv. 62 (1987), p. 339-389. | MR | Zbl

[16] A. Heller - « The loop-space functor in homological algebra », Trans. Amer. Math. Soc. 96 (1960), p. 382-394. | MR | Zbl

[17] -, « Homotopy theories », Memoirs of the Amer. Math. Soc. 71 (1988). | MR

[18] -, « Homological algebra and (semi)stable homotopy », J. Pure Appl. Algebra 115 (1997), p. 131-139. | MR | Zbl

[19] -, « Stable homotopy theories and stabilization », J. Pure Appl. Algebra 115 (1997), p. 113-130. | MR | Zbl

[20] P. S. Hirschhorn - Model categories and their localizations, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 99, Amer. Math. Soc., 2003. | MR | Zbl

[21] B. Kahn & G. Maltsiniotis - « Structures de dérivabilité », Adv. Math. 218 (2008), p. 1286-1318. | MR | Zbl

[22] B. Keller - « Chain complexes and stable categories », Manuscripta Math. 67 (1990), p. 379-417. | MR | Zbl

[23] -, « Derived categories and universal problems », Comm. Alg. 19 (1991), p. 699-747. | MR

[24] -, « Appendice : Le dérivateur triangulé associé à une catégorie exacte », Contemp. Math. 431 (2007), p. 369-373.

[25] S. Mac Lane - Categories for the working mathematician, 2e éd., Graduate Texts in Math., vol. 5, Springer, 1998. | MR | Zbl

[26] G. Maltsiniotis - « Structure triangulée sur les catégories de coefficients de dérivateurs triangulés », exposés au groupe de travail Algèbre et topologie homotopiques, 2001.

[27] -, « Introduction à la théorie des dérivateurs », disponible à l'adresse http://www.math.jussieu.fr/~maltsin/, 2001.

[28] -, « La $K$-théorie d’un dérivateur triangulé », Contemp. Math. 431 (2007), p. 341-368.

[29] D. G. Quillen - Homotopical algebra, Lecture Notes, vol. 43, Springer, 1967. | MR | Zbl

[30] -, « Higher algebraic $K$-theory », in Higher $K$-theories I, Lecture Notes in Math., vol. 341, Springer, 1973, p. 85-147. | MR

[31] A. Rădulescu-Banu - « Cofibrations in homotopy theory », preprint arXiv :math/0610009.

[32] R. W. Thomason & T. Trobaugh - « Higher algebraic $K$-theory of schemes and of derived categories », in The Grothendieck Festschrift, Vol. III, Progr. Math., vol. 88, Birkhäuser, 1990, p. 247-435. | MR | Zbl

[33] F. Waldhausen - « Algebraic $K$-theory of spaces », in Algebraic and geometric topology (New Brunswick, N.J., 1983), Lecture Notes in Math., vol. 1126, Springer, 1985, p. 318-419. | MR | Zbl

[34] C. Weibel - « Homotopy ends and Thomason model categories », Selecta Math. (N.S.) 7 (2001), p. 533-564. | MR | Zbl