On the finiteness of Pythagoras numbers of real meromorphic functions
[Sur la finitude des nombres de Pythagore des fonctions méromorphes réelles]
Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 138 (2010) no. 2, pp. 231-247.

Nous considérons le 17e problème de Hilbert pour les fonctions analytiques réelles globales sous une forme modifiée faisant intervenir des sommes infinies de carrés. Nous démontrons alors un principe local-global pour qu'une fonction analytique réelle globale soit une somme de carrés de fonctions méromorphes réelles globales. Nous déduisons qu'une solution affirmative au 17e problème de Hilbert pour les fonctions analytiques réelles globales entraîne la finitude du nombre de Pythagore du corps des fonctions méromorphes réelles globales et donc celle du corps des séries méromorphes réelles. Cela donne une mesure de la difficulté du 17e problème de Hilbert dans le cas analytique.

We consider the 17th Hilbert Problem for global real analytic functions in a modified form that involves infinite sums of squares. Then we prove a local-global principle for a real global analytic function to be a sum of squares of global real meromorphic functions. We deduce that an affirmative solution to the 17th Hilbert Problem for global real analytic functions implies the finiteness of the Pythagoras number of the field of global real meromorphic functions, hence that of the field of real meromorphic power series. This measures the difficulty of the 17th Hilbert problem in the analytic case.

DOI : 10.24033/bsmf.2589
Classification : 14P99, 11E25, 32B10
Keywords: 17th Hilbert problem, pythagoras number, sum of squares, bad set, germs at closed sets
Mot clés : 17e problème de Hilbert, nombre pythagorien, somme de carrés, mauvais ensemble, germes d'ensembles fermés 
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Acquistapace, Francesca; Broglia, Fabrizio; Fernando, José F.; Ruiz, Jesús M. On the finiteness of Pythagoras numbers of real meromorphic functions. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 138 (2010) no. 2, pp. 231-247. doi : 10.24033/bsmf.2589. http://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2589/

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Cité par Sources :