Nonlinear Schrödinger equation on four-dimensional compact manifolds

Gérard, Patrick; Pierfelice, Vittoria

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 138 (2010) no. 1, pp. 119-151.

Nous démontrons deux résultats concernant le problème de Cauchy dans l'espace d'énergie pour des équations de Schrödinger non linéaires sur des variétés compactes de dimension 4. Le premier établit le caractère globalement bien posé pour des seconds membres du type de Hartree et contient comme cas particulier certaines régularisations de l'équation cubique sur la sphère. Le second résultat fournit, dans le cas de données zonales sur la sphère, le caractère localement bien posé pour des seconds membres quadratiques, ainsi qu'une condition nécessaire et suffisante à l'existence globale lorsque les données sont assez petites et que l'équation est hamiltonienne. Chacun de ces résultats est fondé sur de nouvelles estimations multilinéaires du type de Strichartz pour le groupe de Schrödinger.

We prove two new results about the Cauchy problem in the energy space for nonlinear Schrödinger equations on four-dimensional compact manifolds. The first one concerns global well-posedness for Hartree-type nonlinearities and includes approximations of cubic NLS on the sphere as a particular case. The second one provides, in the case of zonal data on the sphere, local well-posedness for quadratic nonlinearities as well as a necessary and sufficient condition of global well-posedness for small energy data in the Hamiltonian case. Both results are based on new multilinear Strichartz-type estimates for the Schrödinger group.

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