Approximately Einstein ACH metrics, volume renormalization, and an invariant for contact manifolds

Seshadri, Neil

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 137 (2009) no. 1, pp. 63-91.

Pour toute variété lisse compacte $M$ munie d’une structure de contact $H$ et d’une structure presque CR partiellement intégrable $J$, nous démontrons l’existence et l’unicité, à des termes d’erreur de degré supérieur et action de difféomorphisme près, d’une métrique presque d’Einstein ACH (asymptotiquement complexe hyperbolique) $g$ sur $M\times (-1,0)$. Nous considérons le développement asymptotique, en des puissances d’une fonction définissante spéciale, du volume de $M\times (-1,0)$ par rapport à $g$. Nous démontrons que le coefficient du terme logarithmique est indépendant de $J$ (et du choix de la forme de contact $\theta$) ; par conséquent, c’est un invariant de la structure de contact $H$. La métrique presque d’Einstein ACH $g$ est une généralisation de la métrique presque d’Einstein kählérienne complète $g_{+}$ de Fefferman sur les domaines strictement pseudo-convexes. Elle a également un comportement asymptotique similaire au bord. Le présent travail démontre que le coefficient du terme logarithmique CR-invariant dans le développement asymptotique du volume de $g_{+}$ est, en fait, un invariant de contact. Nous traitons également quelques implications possibles pour la $Q$-courbure CR. La méthode de trouver $g$ par le biais de séries formelles comporte une obstruction d’ordre fini. Nous démontrons que cette obstruction est partiellement donnée par une $1$-forme sur $H^{*}$. Ceci est un résultat nouveau particulier au contexte partiellement intégrable.

To any smooth compact manifold $M$ endowed with a contact structure $H$ and partially integrable almost CR structure $J$, we prove the existence and uniqueness, modulo high-order error terms and diffeomorphism action, of an approximately Einstein ACH (asymptotically complex hyperbolic) metric $g$ on $M\times (-1,0)$. We consider the asymptotic expansion, in powers of a special defining function, of the volume of $M\times (-1,0)$ with respect to $g$ and prove that the log term coefficient is independent of $J$ (and any choice of contact form $\theta$), i.e., is an invariant of the contact structure $H$. The approximately Einstein ACH metric $g$ is a generalisation of, and exhibits similar asymptotic boundary behaviour to, Fefferman’s approximately Einstein complete Kähler metric $g_{+}$ on strictly pseudoconvex domains. The present work demonstrates that the CR-invariant log term coefficient in the asymptotic volume expansion of $g_{+}$ is in fact a contact invariant. We discuss some implications this may have for CR $Q$-curvature. The formal power series method of finding $g$ is obstructed at finite order. We show that part of this obstruction is given as a one-form on $H^{*}$. This is a new result peculiar to the partially integrable setting.

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