Les théorèmes de Leray et de Fujita-Kato pour le système de Boussinesq partiellement visqueux

Danchin, Raphaël; Paicu, Marius

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 136 (2008) no. 2, pp. 261-309.

Dans cet article, on étudie le système de Boussinesq décrivant le phénomène de convection dans un fluide incompressible et visqueux. Ce système est composé des équations de Navier-Stokes incompressibles avec un terme de force verticale dont l'amplitude est transportée sans dissipation par le flot du champ de vitesses. On montre que les résultats classiques pour le système de Navier-Stokes standard demeurent vrais pour le système de Boussinesq bien qu’il n’y ait pas d’amortissement sur le terme de force. Plus précisément, on établit l’existence de solutions faibles globales d’énergie finie en n’importe quelle dimension et l’existence de solutions fortes uniques globales en dimension $N\ge 3$ pour de petites données initiales. Dans le cas particulier de la dimension deux, les solutions d’énergie finie sont uniques pour n’importe quelle donnée initiale dans $L^2\left({ℝ}^2\right).$

We are concerned with the so-called Boussinesq equations with partial viscosity. These equations consist of the ordinary incompressible Navier-Stokes equations with a forcing term which is transported with no dissipation by the velocity field. Such equations are simplified models for geophysics (in which case the forcing term is proportional either to the temperature, or to the salinity or to the density). In the present paper, we show that the standard theorems for incompressible Navier-Stokes equations may be extended to Boussinesq system despite the fact that there is no dissipation or decay at large time for the forcing term. More precisely, we state the global existence of finite energy weak solutions in any dimension, and global well-posedness in dimension $N\ge 3$ for small data. In the two-dimensional case, the finite energy global solutions are shown to be unique for any data in $L^2\left({ℝ}^2\right).$

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