Variétés horosphériques de Fano

Pasquier, Boris

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 136 (2008) no. 2, pp. 195-225.

Une variété horosphérique est une variété algébrique normale dans laquelle un groupe algébrique réductif opère avec une orbite ouverte fibrée en tores sur une variété de drapeaux. En particulier, les variétés toriques et les variétés de drapeaux sont horosphériques. Dans cet article, on classifie les variétés horosphériques de Fano en termes de certains polytopes rationnels qui généralisent les polytopes réflexifs considérés par V. Batyrev. Puis on obtient une majoration du degré des variétés horosphériques lisses de Fano, analogue à celle donnée par O. Debarre dans le cas torique. On étend un résultat récent de C. Casagrande : les variétés horosphériques $\mathbb{Q}$-factorielles de Fano ont leur nombre de Picard majoré par deux fois la dimension.

A horospherical variety is a normal algebraic variety where a reductive algebraic group acts with an open orbit which is a torus bundle over a flag variety. For example, toric varieties and flag varieties are horospherical. In this paper, we classify Fano horospherical varieties in terms of certain rational polytopes that generalize the reflexive polytopes considered by V. Batyrev. Then, we obtain an upper bound on the degree of smooth Fano horospherical varieties, analogus to that given by O. Debarre in the toric case. We extend a recent result of C. Casagrande: the Picard number of any Fano $\mathbb{Q}$-factorial horospherical variety is bounded by twice the dimension.

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