Quelques propriétés d'approximation reliées à la cohomologie galoisienne d'un groupe algébrique fini

Harari, David

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 135 (2007) no. 4, pp. 549-564.

On étudie différentes propriétés d’approximation pour des espaces homogènes $X$ (à stabilisateur fini) de ${\mathrm{GL}}_n$ sur un corps de nombres. On discute également du lien avec le problème de Galois inverse et on établit une formule pour le groupe de Brauer non ramifié de $X$.

We prove some results about miscellaneous approximation properties for homogeneous spaces $X$ (with finite stabilizer) of ${\mathrm{GL}}_n$ over a number field. We also discuss a link to the inverse Galois problem and we give a formula for the unramified Brauer group of $X$.

Classification : 11E72, 11G35
Mot clés : approximation faible, espace homogène, groupe de Brauer
Keywords: weak approximation, homogeneous space, Brauer group

[1] V. I. Chernousov - « Galois cohomology and weak approximation for the quotient manifolds $A^n/G$ », Trudy Mat. Inst. Steklov. 208 (1995), p. 335-349, Dedicated to Academician Igorʼ Rostislavovich Shafarevich on the occasion of his seventieth birthday (Russian). | MR | Zbl

[2] J.-L. Colliot-Thélène & J.-J. Sansuc - « La descente sur les variétés rationnelles. II », Duke Math. J. 54 (1987), p. 375-492. | MR | Zbl

[3] -, The rationality problem for fields of invariants under linear algebraic groups (with special regards to the Brauer group), Tata Inst. Fund. Res. Stud. Math., Tata Inst. Fund. Res., 2007. | MR | Zbl

[4] T. Ekedahl - « An effective version of Hilbert's irreducibility theorem », in Séminaire de Théorie des Nombres, Paris 1988-1989, Progr. Math., vol. 91, Birkhäuser Boston, 1990, p. 241-249. | MR | Zbl

[5] S. Garibaldi, A. Merkurjev & J-P. Serre - « Cohomological invariants in Galois cohomology », University Lecture Series, vol. 28, American Mathematical Society, 2003, p. 168. | MR | Zbl

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[9] J. S. Milne - Étale cohomology, Princeton Mathematical Series, vol. 33, Princeton University Press, 1980. | MR | Zbl

[10] J. Neukirch - « Über das Einbettungsproblem der algebraischen Zahlentheorie », Invent. Math. 21 (1973), p. 59-116. | MR | Zbl

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[12] D. J. Saltman - « Multiplicative field invariants », J. Algebra 106 (1987), p. 221-238. | MR | Zbl

[13] J.-J. Sansuc - « Groupe de Brauer et arithmétique des groupes algébriques linéaires sur un corps de nombres », J. reine angew. Math. 327 (1981), p. 12-80. | MR | Zbl

[14] J-P. Serre - Cohomologie galoisienne, vol. 1965, Springer, 1965, cinquième édition, révisée et complétée. | MR | Zbl

[15] A. Skorobogatov - Torsors and rational points, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 144, Cambridge University Press, 2001. | MR | Zbl

[16] V. E. Voskresenskii - « Corps d'invariants de groupes abéliens (en russe) », Uspehi Mat. Nauk 4 (172) (1973), p. 77-102. | Zbl

[17] S. Wang - « On Grunwald's theorem », Ann. of Math. (2) 51 (1950), p. 471-484. | MR | Zbl