Lagrangian fibrations on generalized Kummer varieties

Gulbrandsen, Martin G.

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 135 (2007) no. 2, pp. 283-298.

Nous étudions l’existence de fibrations lagrangiennes sur les variétés de Kummer généralisées de Beauville. Pour une surface abélienne principalement polarisée dont le nombre de Picard égale $1$ nous prouvons le résultat suivant : la variété de Kummer $K^{n}A$ est birationnellement équivalente à une variété symplectique irréductible admettant une fibration lagrangienne si et seulement si $n$ est un carré parfait. Et cela est le cas si et seulement si $K^{n}A$ supporte un diviseur dont le carré de Beauville-Bogomolov s’annule.

We investigate the existence of Lagrangian fibrations on the generalized Kummer varieties of Beauville. For a principally polarized abelian surface $A$ of Picard number one we find the following: The Kummer variety $K^{n}A$ is birationally equivalent to another irreducible symplectic variety admitting a Lagrangian fibration, if and only if $n$ is a perfect square. And this is the case if and only if $K^{n}A$ carries a divisor with vanishing Beauville-Bogomolov square.

[1] A. Beauville - « Variétés Kähleriennes dont la première classe de Chern est nulle », J. Differential Geom. 18 (1983), p. 755-782. | MR | Zbl

[2] C. Birkenhake & H. Lange - Complex abelian varieties, second éd., Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 302, Springer, 2004. | MR | Zbl

[3] J. Briançon - « Description de ${\mathrm{Hilb}}^{n}C\{x,y\}$ », Invent. Math. 41 (1977), p. 45-89. | MR | Zbl

[4] M. Britze - « On the cohomology of generalized Kummer varieties », Thèse, Universität zu Köln, 2002.

[5] M. Gulbrandsen - « Fibrations on generalized Kummer varieties », Thèse, University of Oslo, 2006.

[6] D. Huybrechts - « Compact hyperkähler manifolds », in Calabi-Yau manifolds and related geometries (Nordfjordeid, 2001), Universitext, Springer, 2003, Lectures from the Summer School held in Nordfjordeid, June2001, p. 161-225. | MR | Zbl

[7] D. Markushevich - « Rational Lagrangian fibrations on punctual Hilbert schemes of $\mathrm{K}3$ surfaces », arXiv:math.AG/0509346. | MR | Zbl

[8] D. Matsushita - « On fibre space structures of a projective irreducible symplectic manifold », Topology 38 (1999), p. 79-83. | MR | Zbl

[9] -, « Addendum: “On fibre space structures of a projective irreducible symplectic manifold” [Topology 38 (1999), p. 79-83] », Topology 40 (2001), p. 431-432. | MR | Zbl

[10] -, « Holomorphic symplectic manifolds and Lagrangian fibrations », Acta Appl. Math. 75 (2003), p. 117-123, Monodromy and differential equations (Moscow, 2001). | MR | Zbl

[11] -, « Higher direct images of dualizing sheaves of Lagrangian fibrations », Amer. J. Math. 127 (2005), p. 243-259. | MR | Zbl

[12] S. Mukai - « Duality between $D\left(X\right)$ and $D\left(\widehat{X}\right)$ with its application to Picard sheaves », Nagoya Math. J. 81 (1981), p. 153-175. | MR | Zbl

[13] -, « Fourier functor and its application to the moduli of bundles on an abelian variety », in Algebraic geometry, Sendai, 1985, Adv. Stud. Pure Math., vol. 10, North-Holland, 1987, p. 515-550. | MR | Zbl

[14] D. Mumford - Abelian varieties, Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics, No. 5, Published for the Tata Institute of Fundamental Research, Bombay, 1970. | MR | Zbl

[15] J. Sawon - « Lagrangian fibrations on Hilbert schemes of points on $\mathrm{K}3$ surfaces », arXiv:math.AG/0509224. | MR | Zbl

[16] K. Yoshioka - « Moduli spaces of stable sheaves on abelian surfaces », Math. Ann. 321 (2001), p. 817-884. | MR | Zbl