Lagrangian fibrations on generalized Kummer varieties

Gulbrandsen, Martin G.

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 135 (2007) no. 2, pp. 283-298.

Nous étudions l’existence de fibrations lagrangiennes sur les variétés de Kummer généralisées de Beauville. Pour une surface abélienne principalement polarisée dont le nombre de Picard égale $1$ nous prouvons le résultat suivant : la variété de Kummer $K^{n}A$ est birationnellement équivalente à une variété symplectique irréductible admettant une fibration lagrangienne si et seulement si $n$ est un carré parfait. Et cela est le cas si et seulement si $K^{n}A$ supporte un diviseur dont le carré de Beauville-Bogomolov s’annule.

We investigate the existence of Lagrangian fibrations on the generalized Kummer varieties of Beauville. For a principally polarized abelian surface $A$ of Picard number one we find the following: The Kummer variety $K^{n}A$ is birationally equivalent to another irreducible symplectic variety admitting a Lagrangian fibration, if and only if $n$ is a perfect square. And this is the case if and only if $K^{n}A$ carries a divisor with vanishing Beauville-Bogomolov square.

Classification : 14D20, 14C05, 14D06
Keywords: generalized Kummer varieties, lagrangian fibrations, symplectic varieties
Mot clés : variétés de Kummer généralisées, fibrations lagrangiennes, variétés symplectiques

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