Fonction zêta des hauteurs associée à une certaine surface cubique

de la Bretèche, Régis; Swinnerton-Dyer, Peter

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 135 (2007) no. 1, pp. 65-92.

L’objet de cet article est d’obtenir une formule pour la fonction zêta des hauteurs classique à partir de la fonction zêta des hauteurs multiple de La Bretèche, et d’utiliser cette formule pour prolonger de manière méromorphe la fonction zêta des hauteurs. En particulier, il est montré que celle-ci peut être prolongée au demi-plan $\{s\in ℂ:\Re es>\frac{3}{4}\}$ et que la frontière naturelle de son domaine naturel de méromorphie est $\{s\in ℂ:\Re es=\frac{3}{4}\}$.

The object of this article is to obtain a formula for the classical height zeta function of $X_0^3=X_1{X}_2{X}_3$ in terms of the multiple height zeta function of La Bretèche, and to use that formula to find the meromorphic continuation of the height zeta function. In particular, it will be shown that the height zeta function can be meromorphic continued in $\{s\in ℂ:\Re es>\frac{3}{4}\}$ and its natural boundary is $\{s\in ℂ:\Re es=\frac{3}{4}\}$.

Classification : 11G35, 14G05, 14G10
Mot clés : conjecture de Manin, surfaces cubiques, frontière naturelle du domaine naturel de méromorphie, utilisation de l'hypothèse de Riemann, formule de Perron
Keywords: Manin's conjecture, cubic surfaces, natural boundary, Riemann's hypothesis, Perron's formula

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