Volume of spheres in doubling metric measured spaces and in groups of polynomial growth

Tessera, Romain

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 135 (2007) no. 1, pp. 47-64.

Soit $G$ un groupe localement compact, compactement engendré et $U$ une partie compacte génératrice. On prouve que si G est à croissance polynomiale, alors la suite des puissances de $U$ forme une suite de Følner et on montre que le rapport $\frac{\mu (U^{n+1}\setminus U^n)}{\mu \left(U^n\right)}$ tend polynomialement vers $0$. La démonstration n’utilise que deux ingrédients  : le fait qu’un groupe à croissance polynomiale est doublant, et une propriété de faible géodésicité  : la propriété (M). Par conséquent ce résultat s’étend à une large classe d’espaces métriques mesurés doublants, comme les graphes et les variétés riemanniennes. Comme application, nous obtenons un théorème ergodique presque sûr et dans $L^p$ ($1\le p<\infty$) pour les moyennes sur les boules d’un groupe à croissance polynomiale.

Let $G$ be a compactly generated locally compact group and let $U$ be a compact generating set. We prove that if $G$ has polynomial growth, then ${\left(U^n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ is a Følner sequence and we give a polynomial estimate of the rate of decay of $\frac{\mu (U^{n+1}\setminus U^n)}{\mu \left(U^n\right)}.$ Our proof uses only two ingredients: the doubling property and a weak geodesic property that we call Property (M). As a matter of fact, the result remains true in a wide class of doubling metric measured spaces including manifolds and graphs. As an application, we obtain a $L^p$-pointwise ergodic theorem ($1\le p<\infty$) for the balls averages, which holds for any compactly generated locally compact group $G$ of polynomial growth.

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