Pointed $k$-surfaces

Smith, Graham

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 134 (2006) no. 4, pp. 509-557.

Soit $S$ une surface de Riemann. Soit ${ℍ}^3$ l’espace hyperbolique de dimension $3$ et soit ${\partial }_{\infty }{ℍ}^3$ son bord à l’infini. Dans le cadre de cet article, un problème de Plateau est une application localement holomorphe $\varphi :S\to {\partial }_{\infty }{ℍ}^3=\widehat{ℂ}$. Si $i:S\to {ℍ}^3$ est une immersion convexe, et si $N$ est son champ de vecteurs normal, on définit $\widehat{ı}$, la relevée de Gauss de $i$, par $\widehat{ı}=N$. Soit $\overrightarrow{n}:U{ℍ}^3\to {\partial }_{\infty }{ℍ}^3$ l’application de Gauss-Minkowski. Une solution au problème de Plateau $(S,\varphi )$ est une immersion convexe $i$ à courbure gaussienne constante égale à $k\in ]0,1[$ telle que sa relevée de Gauss $(S,\widehat{ı})$ soit complète en tant que sous-variété immergée et que $\overrightarrow{n}\circ \widehat{ı}=\varphi$. Dans cet article, on montre que, si $S$ est une surface de Riemannn compacte, si $𝒫$ est un sous-ensemble discret de $S$ et si $\varphi :S\to \widehat{ℂ}$ est un revêtement ramifié, alors, pour tout $p_0\in 𝒫$, la solution $(S\setminus 𝒫,i)$ au problème de Plateau $(S\setminus 𝒫,\varphi )$ converge asymptotiquement vers un cylindre qui s’enroule un nombre fini $k$ de fois autour d’une géodésique ayant $\varphi \left(p_0\right)$ pour une de ses extrémités lorsqu’on s’approche de $p_0$. De plus, $k$ est égale à l’ordre de ramification de $\varphi$ en $p_0$. On obtient également une réciproque de ce résultat nous permettant de décrire entièrement les surfaces complètes immergées dans ${ℍ}^3$ à courbure gaussienne constante et aux bouts cylindriques.

Let $S$ be a Riemann surface. Let ${ℍ}^3$ be the $3$-dimensional hyperbolic space and let ${\partial }_{\infty }{ℍ}^3$ be its ideal boundary. In our context, a Plateau problem is a locally holomorphic mapping $\varphi :S\to {\partial }_{\infty }{ℍ}^3=\widehat{ℂ}$. If $i:S\to {ℍ}^3$ is a convex immersion, and if $N$ is its exterior normal vector field, we define the Gauss lifting, $\widehat{ı}$, of $i$ by $\widehat{ı}=N$. Let $\overrightarrow{n}:U{ℍ}^3\to {\partial }_{\infty }{ℍ}^3$ be the Gauss-Minkowski mapping. A solution to the Plateau problem $(S,\varphi )$ is a convex immersion $i$ of constant Gaussian curvature equal to $k\in (0,1)$ such that the Gauss lifting $(S,\widehat{ı})$ is complete and $\overrightarrow{n}\circ \widehat{ı}=\varphi$. In this paper, we show that, if $S$ is a compact Riemann surface, if $𝒫$ is a discrete subset of $S$ and if $\varphi :S\to \widehat{ℂ}$ is a ramified covering, then, for all $p_0\in 𝒫$, the solution $(S\setminus 𝒫,i)$ to the Plateau problem $(S\setminus 𝒫,\varphi )$ converges asymptotically as one tends to $p_0$ to a cylinder wrapping a finite number, $k$, of times about a geodesic terminating at $\varphi \left(p_0\right)$. Moreover, $k$ is equal to the order of ramification of $\varphi$ at $p_0$. We also obtain a converse of this result, thus completely describing complete, constant Gaussian curvature, immersed hypersurfaces in ${ℍ}^3$ with cylindrical ends.

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