Invariants of real symplectic four-manifolds out of reducible and cuspidal curves

Welschinger, Jean-Yves

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 134 (2006) no. 2, pp. 287-325.

Nous construisons des invariants par déformation des variétés symplectiques réelles de dimension quatre. Ces invariants sont obtenus en comptant trois différents types de courbes $J$-holomorphes rationnelles réelles qui réalisent une classe d’homologie donnée et passent par une configuration réelle donnée d’un nombre (adéquat) de points. Ces courbes sont des courbes cuspidales, réductibles et des courbes ayant une tangente prescrite en l’un des points de la configuration. Elles sont comptées en fonction d’un signe qui dépend de la parité du nombre de leurs points doubles réels isolés et, dans le cas des courbes réductibles, en fonction d’une multiplicité. Dans le cas du plan projectif complexe muni de ses formes symplectiques et structures réelles standards, ces invariants coincident avec ceux précédemment construits dans [Welschinger 2005]. Ceci mène à une relation entre le comptage de courbes $J$-holomorphes rationnelles réelles réalisé dans [Welschinger 2005] et le comptage de courbes $J$-holomorphes rationnelles réductibles réelles présenté ici.

We construct invariants under deformation of real symplectic four-manifolds. These invariants are obtained by counting three different kinds of real rational $J$-holomorphic curves which realize a given homology class and pass through a given real configuration of (the appropriate number of) points. These curves are cuspidal curves, reducible curves and curves with a prescribed tangent line at some real point of the configuration. They are counted with respect to some sign defined by the parity of their number of isolated real double points and in the case of reducible curves, with respect to some mutiplicity. In the case of the complex projective plane equipped with its standard symplectic form and real structure, these invariants coincide with the ones previously constructed in [Welschinger 2005]. This leads to a relation between the count of real rational $J$-holomorphic curves done in [Welschinger 2005] and the count of real rational reducible $J$-holomorphic curves presented here.

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