Compactifications des espaces de configuration dans les schémas de Hilbert

Evain, Laurent

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 133 (2005) no. 4, pp. 497-539.

Soient $F(X,n)=X^n-\Delta$ le complémentaire de l’union $\Delta$ des diagonales dans $X^n$ et $U$ un quotient (éventuellement trivial) de $F(X,n)$ par un sous-groupe du groupe symétrique ${𝔖}_n$. Ce travail présente des procédés de compactification de $U$ dans des produits de schémas de Hilbert. Notre démarche généralise et unifie des constructions classiques dues à Schubert-Semple, LeBarz-Keel, Kleiman et Cheah. Une étude géométrique plus détaillée est faite pour les cas $n\le 3$. Cette étude inclut notamment une classification complète, la détermination des compactifications lisses, et la description des morphismes quotients par les actions naturelles.

Let $F(X,n)=X^n-\Delta$ be the complement of the union $\Delta$ of the diagonals in $X^n$, and let $U$ be a quotient (possibly trivial) of $F(X,n)$ by a subgroup of the symmetric group ${𝔖}_n$. In this work, methods to compactify $U$ inside products of Hilbert Schemes are introduced. Our approach generalizes and unifies previous classical constructions by Schubert-Semple, LeBarz-Keel, Kleiman and Cheah. A more detailed geometrical study is done when $n\le 3$. This includes in particular a complete classification, the determination of the smooth models and a description of the quotient morphisms with respect to the natural actions.

[1] J. Cheah - « Cellular decompositions for nested Hilbert schemes of points », Pacific J. Math. 183 (1998), p. 39-90. | MR | Zbl

[2] A. Collino & W. Fulton - « Intersection rings of spaces of triangles », Mém. Soc. Math. France 38 (1989), p. 75-117, Colloque en l'honneur de Pierre Samuel. | Numdam | MR | Zbl

[3] D. Dias & P. Le Barz - Configuration spaces over Hilbert schemes and applications, vol. 1647, Springer-Verlag, Berlin, 1996. | MR | Zbl

[4] I. Dolgachev & D. Ortland - Point sets in projective spaces and theta functions, vol. 165, Société Mathématique de France, 1988. | Numdam | MR | Zbl

[5] D. Eisenbud - Commutative algebra, vol. 150, Springer-Verlag, 1995. | MR | Zbl

[6] L. Evain - « Collisions de gros points sur une surface », en préparation.

[7] -, « Collisions de trois gros points sur une surface algébrique », Thèse, Nice, 1997.

[8] W. Fulton & R. Macpherson - « A compactification of configuration spaces », 139 (1994), p. 183-225. | MR | Zbl

[9] B. Harbourne - « Iterated blow-ups and moduli for rational surfaces », Algebraic geometry (Sundance, UT, 1986), vol. 1311, Springer, Berlin, 1988, p. 101-117. | MR | Zbl

[10] S. Keel - « Functorial construction of Le Barz's triangle space with applications », 335 (1993), p. 213-229. | MR | Zbl

[11] S. Kleiman - « Multiple-point formulas. I. Iteration », 147 (1981), p. 13-49. | MR | Zbl

[12] P. Le Barz - « La variété des triplets complets », 57 (1988), p. 925-946. | MR | Zbl

[13] Z. Ran - « Curvilinear enumerative geometry », 155 (1985), p. 81-101. | MR | Zbl

[14] J. Roberts & R. Speiser - « Enumerative geometry of triangles. I », Comm. Algebra 12 (1984), p. 1213-1255. | MR | Zbl

[15] H. Schubert - « Anzahlgeometrische Behandlung des Dreieckes », 17 (1880). | JFM

[16] J. Semple - « The triangle as a geometric variable », Mathematika 1 (1954), p. 80-88. | MR | Zbl

[17] J. Tyrrell - « On the enumerative geometry of triangles », Mathematika 6 (1959), p. 158-164. | MR | Zbl

[18] C. Walter - « Collisions of three fat points on an algebraic surface », Prépublication 412, Université de Nice, 1995.