Distribution des préimages et des points périodiques d'une correspondance polynomiale

Dinh, Tien-Cuong

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 133 (2005) no. 3, pp. 363-394.

Nous construisons pour toute correspondance polynomiale $F$ d’exposant de Lojasiewicz $\ell >1$ une mesure d’équilibre $\mu$. Nous montrons que $\mu$ est approximable par les préimages d’un point générique et que les points périodiques répulsifs sont équidistribués sur le support de $\mu$. En utilisant ces résultats, nous donnons une caractérisation des ensembles d’unicité pour les polynômes.

We construct an equilibrium measure $\mu$ for a polynomial correspondence $F$ of Lojasiewicz exponent $\ell >1$. We then show that $\mu$ can be built as the distribution of preimages of a generic point and that the repelling periodic points are equidistributed on the support of $\mu$. Using these results, we will give a characterization of infinite uniqueness sets for polynomials.

Classification : 37F, 32H, 32H30, 32H50
Mot clés : correspondance, mesure d'équilibre, ensemble exceptionnel, point périodique, ensemble d'unicité
Keywords: correspondence, equilibrium measure, exceptional set, periodic point, uniqueness set

[1] H. Alexander - « Projective capacity », Ann. Math. Studies, vol. 100, Princeton University Press, 1981, p. 3-27. | MR | Zbl

[2] E. Bedford & J. Smillie - « External rays in dynamics of polynomial automorphisms of ${ℂ}^2$ », vol. 222, American Mathematical Society, Providence, RI, 1999, p. 41-79. | MR | Zbl

[3] J. Briend & J. Duval - « Exposants de Liapounoff et distribution des points périodiques d’un endomorphisme de $ℂ{\P }^k$ », 182 (1999), p. 143-157. | MR | Zbl

[4] -, « Deux caractérisations de la mesure d’équilibre d’un endomorphisme de ${\P }^k\left(ℂ\right)$ », 93 (2001), p. 145-159. | Numdam | Zbl

[5] H. Brolin - « Invariant sets under iteration of rational functions », 6 (1965), p. 103-144. | MR | Zbl

[6] L. Clozel & E. Ullmo - « Correspondances modulaires et mesures invariantes », 558 (2003), p. 47-83. | MR | Zbl

[7] -, « Équidistribution des points de Hecke », Contributions to automorphic forms, geometry, and number theory, Johns Hopkins Univ. Press, Baltimore, MD, 2004, p. 193-254. | Zbl

[8] I. Cornfeld, S. Fomin & Y. Sinai - Ergodic theory, Grundlehren Math. Wiss., vol. 245, Springer Verlag, NewYork-Berlin, 1962. | MR | Zbl

[9] T.-C. Dinh - « Ensembles d'unicité pour les polynômes », Ergodic Theory Dynamical Systems 22 (2002), p. 171-186. | MR | Zbl

[10] -, « Suites d'applications méromorphes multivaluées et courants laminaires », J. Geom. Anal. (à paraître). | Zbl

[11] T.-C. Dinh & N. Sibony - « Sur les endomorphismes holomorphes permutables de ${\P }^k$ », 324 (2002), p. 33-70. | MR | Zbl

[12] -, « Distribution des valeurs de transformations méromorphes et applications », prépublication, arXiv : math.DS/0306095, 2003.

[13] -, « Dynamique des applications d'allure polynomiale », 82 (2003), p. 367-423. | MR | Zbl

[14] -, « Dynamique des applications polynomiales semi-régulières », 42 (2004), p. 61-85. | MR | Zbl

[15] -, « Green currents for holomorphic automorphisms on compact Kähler manifolds », 18 (2005), p. 291-312. | MR | Zbl

[16] A. Eremenko - « On some functional equations connected with iteration of rational function », Leningrad Math. J. 1 (1990), p. 905-919. | MR | Zbl

[17] P. Fatou - « Sur l'itération analytique et les substitutions permutables », J. Math. 2 (1923), p. 343. | EuDML | JFM | Numdam

[18] J. Fornæss - Dynamics in several complex variables, CBMS, vol. 81, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1996. | MR | Zbl

[19] J. Fornæss & N. Sibony - « Complex dynamics in higher dimension », Complex potential theory (Montréal, PQ, 1993), Nato ASI Series Math. and Phys. Sci., vol. C439, Kluwer, 1994, p. 131-186. | MR | Zbl

[20] A. Freire, A. Lopes & R. Mañé - « An invariant measure for rational maps », Bol. Soc. Brasil. Mat. 14 (1983), p. 45-62. | MR | Zbl

[21] F. Gross & C. Yang - « On preimage and range sets of meromorphic functions », Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. 58 (1982), p. 17-20. | MR | Zbl

[22] V. Guedj - « Ergodic properties of rational mappings with large topological degree », prépublication, 2003. | Zbl

[23] L. Hörmander - The analysis of linear partial differential operatorsI, Springer-Verlag, 1983. | Zbl

[24] G. Julia - « Mémoire sur la permutabilité des fractions rationnelles », Ann. Sci. École Norm. Sup. 39 (1922), p. 131-215. | EuDML | JFM | Numdam | MR

[25] M. Klimek - Pluripotential theory, Oxford Univ. Press, 1995. | MR | Zbl

[26] M. Lyubich - « Entropy properties of rational endomorphisms of the Riemann sphere », Ergodic Theory Dynamical Systems 3 (1983), p. 351-385. | MR | Zbl

[27] M. Méo - « Image inverse d'un courant positif fermé par une application surjective », 322 (1996), p. 1141-1144. | MR | Zbl

[28] R. Nevanlinna - « Einige Eideutigkeitss atze in der Theorie der meromorphen Funktionen », 48 (1926), p. 367-391. | JFM | MR

[29] I. Ostrovskii, F. Pakovitch & M. Zaidenberg - « A remark on complex polynomial of least deviation », 14 (1996), p. 699-703. | MR | Zbl

[30] A. Ploski - « On the growth of proper polynomial mappings », XLV (1985), p. 297-309. | MR | Zbl

[31] J. Ritt - « Permutable rational functions », 25 (1923), p. 399-448. | JFM | MR

[32] A. Russakovskii & B. Shiffman - « Value distribution for sequences of rational mappings and complex dynamics », 46 (1997), p. 897-932. | MR | Zbl

[33] B. Shiffman - « Uniqueness of entire and meromorphic functions sharing finite sets », 43 (2001), p. 433-449. | MR | Zbl

[34] N. Sibony - « Dynamique des applications rationnelles de ${\mathbb{P}}^k$ », Dynamique et géométrie complexes, Panoramas & Synthèses, vol. 8, Société Mathématique de France, Paris, 1999, p. 97-185. | MR | Zbl

[35] N. Sibony & P. Wong - « Some results on global analytic sets », Séminaire Lelong-Skoda, vol. 822, Springer, 1980, p. 221-237. | MR | Zbl

[36] C. Voisin - « Intrinsic pseudovolume forms and $K$-correspondences », The Fano Conference, Univ. Torino, Turin, 2004, p. 761-792. | MR | Zbl