Existence de filtrations admissibles sur des isocristaux

Fontaine, Jean-Marc; Rapoport, Michael

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 133 (2005) no. 1, pp. 73-86.

Soit $(D,\varphi )$ un isocristal de vecteur de Newton $\nu \in {\left({\mathbb{Q}}^d\right)}_{+}$. On associe à une filtration ${ℱ}^{•}$ de $D$ son vecteur de Hodge $\mu \left({ℱ}^{•}\right)\in {\left({\mathbb{Z}}^d\right)}_{+}$. Si ${ℱ}^{•}$ est admissible (i.e. $(D,\varphi ,{ℱ}^{•})$ est faiblement admissible en tant qu’isocristal filtré), alors $\mu \left({ℱ}^{•}\right)\ge \nu$. Réciproquement, on démontre qu’étant donné $\mu \in {\left({\mathbb{Z}}^d\right)}_{+}$ avec $\mu \ge \nu$, il existe une filtration admissible ${ℱ}^{•}$ de $D$ avec $\mu =\mu \left({ℱ}^{•}\right)$. On en déduit, à l’aide d’un théorème de Laffaille, l’existence d’un réseau $M$ dans $D$ de type $\mu$. On donne aussi une variante pour un groupe quasi-déployé quelconque.

Let $(D,\varphi )$ be an $F$-isocrystal with associated Newton vector $\nu$ in ${\left({\mathbb{Q}}^d\right)}_{+}$. To a filtration ${ℱ}^{•}$ of $D$ is associated its Hodge vector $\mu \left({ℱ}^{•}\right)\in {\left({\mathbb{Z}}^d\right)}_{+}$. If ${ℱ}^{•}$ is admissible (i.e. $(D,\varphi ,{ℱ}^{•})$ is a weakly admissible filtered isocrystal), then $\mu \left({ℱ}^{•}\right)\ge \nu$. We show that, conversely, for any $\mu \in {\left({\mathbb{Z}}^d\right)}_{+}$ with $\mu \ge \nu$, there exists an admissible filtration ${ℱ}^{•}$ of $D$ with $\mu =\mu \left({ℱ}^{•}\right)$. With the help of a theorem of Laffaille we deduce the existence of a lattice $M$ in $D$ of type $\mu$. We also give a variant for arbitrary quasi-split groups.

Classification : 14F30, 14L05
Mot clés : isocristaux, vecteur de Newton, filtrations admissibles
Keywords: $F$-isocrystals, Newton vector, admissible filtrations

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