Sur les orbites d'un sous-groupe sphérique dans la variété des drapeaux

Ressayre, Nicolas

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 132 (2004) no. 4, pp. 543-567.

Soient $G$ un groupe algébrique complexe réductif et connexe, $B$ un sous-groupe de Borel de $G$ et $H$ un sous-groupe sphérique de $G$. Soit $X$ un plongement $G\times G$-équivariant de $G$. Nous savons que $B\times H$ n’a qu’un nombre fini d’orbites dans $G$ ; nous montrons qu’il n’en a qu’un nombre fini dans $X$. Soit $\overline{V}$ l’adhérence dans $X$ d’une orbite de $B\times H$ dans $G$ et $\overline{𝒪}$ l’adhérence d’une orbite de $G\times G$ dans $X$. Si $X$ est toroïdal, nous montrons que l’intersection $\overline{V}\cap \overline{𝒪}$ est propre dans $X$ et la décrivons ensemblistement. Si de plus $X$ est lisse, nous calculons les multiplicités d’intersections qui sont des puissances de $2$. Enfin, si $X$ est toroïdal, lisse et complet, nous exprimons la classe de cohomologie de $\overline{V}$ comme une combination linéaire des classes d’adhérence dans $X$ d’orbites de $B\times B$ dans $G$. Nous utilisons la cohomologie $B$-équivariante pour obtenir ce dernier résultat. Soit $Y$ un plongement lisse $G$-équivariant et toroïdal de $G/H$ et $\overline{𝒪}$ l’adhérence d’une orbite de $G$ dans $Y$. Soit $\overline{V}$ l’adhérence dans $Y$ d’une orbite de $B$ dans $G/H$. Dans [4], après la proposition6, M.Brion demande si chaque composante irréductible de $\overline{V}\cap \overline{𝒪}$ contient des points lisses de $\overline{V}$ : nous répondons négativement à cette question dans la dernière partie.

Let $G$ be a complex reductive algebraic group, $B$ be a Borel subgroup of $G$ and $H$ be a spherical subgroup of $G$. Let $X$ be a $G\times G$-equivariant embedding of $G$. We know that $B\times H$ have finitely many orbits in $G$ ; we show that it has finitely many ones in $X$. Let $\overline{V}$ be the closure in $X$ of a $(B\times H)$-orbit in $G$, and $\overline{𝒪}$ be the closure of a $(G\times G)$-orbit in $X$. If $X$ is toroïdal, we show that the intersection $\overline{V}\cap \overline{𝒪}$ is proper in $X$ and we describe this intersection. If in addition $X$ is smooth, we determine the intersection multiplicities of $\overline{V}\cap \overline{𝒪}$, which are powers of $2$. If $X$ is toroïdal, smooth and complete, we write the class of cohomology of $\overline{V}$ as a linear combinaison of the classes of the closures in $X$ of the $(B\times B)$-orbits in $G$. The proof of this last statement uses $B$-equivariant cohomology. Let $Y$ be a smooth $G$-equivariant embedding of $G/H$ and $\overline{𝒪}$ be the closure of a $G$-orbit in $Y$. Let $\overline{V}$ be the closure in $Y$ of a $B$-orbit in $G/H$. In [4], just after Proposition6, M.Brion asks if each irreducible component of $\overline{V}\cap \overline{𝒪}$ intersects the set of the smooth points in $\overline{V}$: we give an example which answers ‘no’ to this question.

[1] M. Brion - « Quelques propriétés des espaces homogènes sphériques », Manuscripta Math. 55 (1986), no. 2, p. 191-198. | MR | Zbl

[2] -, « Variétés sphériques », Notes de la session de la SMF Opérations hamiltoniennes et opérations de groupes algébriques, Grenoble ; http//www-fourier.ujf-grenoble.fr/~mbrion/sphe riques.ps, 1997.

[3] -, « The behaviour at infinity of the Bruhat decomposition », Comment. Math. Helv. 73 (1998), no. 1, p. 137-174. | MR | Zbl

[4] -, « On orbit closures of spherical subgroups in flag varieties », Comment. Math. Helv. 76 (2001), no. 2, p. 263-299. | MR | Zbl

[5] C. De Concini & C. Procesi - « Complete symmetric varieties », Invariant theory (Montecatini, 1982), Springer, Berlin, 1983, p. 1-44. | MR | Zbl

[6] W. Hsiang - Cohomology theory of topological transformation groups, Springer-Verlag, New York, 1975. | MR | Zbl

[7] J. Humphreys - Linear algebraic groups, Springer Verlag, New York, 1975. | MR | Zbl

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[9] -, « On the set of orbits for a Borel subgroup », Comment. Math. Helv. 70 (1995), no. 2, p. 285-309. | MR | Zbl

[10] D. Mumford, J. Fogarty & F. Kirwan - Geometric invariant theory, 3e éd., Springer Verlag, New York, 1994. | MR | Zbl

[11] S. Pin - « Sur les singularités des orbites d'un sous-groupe de Borel dans les espaces symétriques », Thèse, Université Grenoble I, 2001, http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/THESE/these_daterev.html.

[12] V. L. Popov & È. Vinberg - « Invariant Theory », Algebraic Geometry IV (A. Parshin & I. Shafarevich, éds.), Encyclopedia of Mathematical Sciences, vol. 55, Springer-Verlag, 1991, p. 123-284. | Zbl

[13] N. Ressayre - « Quotients of group completions by spherical subgroups », J. Algebra 265 (2003), no. 1, p. 1-44. | MR | Zbl

[14] R. Richardson & T. Springer - « The Bruhat order on symmetric varieties », Geom. Dedicata 35 (1990), no. 1-3, p. 389-436. | MR | Zbl

[15] M. Rosenlicht - « Some basic theorems on algebraic groups », Amer. J. Math. 78 (1956), p. 401-443. | MR | Zbl

[16] J.-P. Serre - « Espaces fibrés algébriques », Séminaire C. Chevalley ; 2e année : 1958. Anneaux de Chow et applications, Secrétariat mathématique, E. N. S. Paris, 1958, Exp. no 1, p. 1-37. | EuDML | Zbl

[17] T. Springer - Linear algebraic groups, 2e éd., Birkhäuser Boston Inc., Boston, MA, 1998. | MR | Zbl

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[19] È. Vinberg - « Complexity of actions of reductive groups », Funktsional. Anal. i Prilozhen. 20 (1986), no. 1, p. 1-13, 96. | MR | Zbl

[20] J. Wolf - « Admissible representations and geometry of flag manifolds », The Penrose transform and analytic cohomology in representation theory (South Hadley, MA, 1992), American Mathematical Society, Providence, RI, 1993, p. 21-45. | MR | Zbl