no. 4
The action spectrum near positive definite invariant tori
[Le spectre d'action au voisinage des tores invariants à torsion définie]
Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 131 (2003) no. 4, pp. 603-616.

On montre que la forme normale de Birkhoff au voisinage d’un tore KAM à torsion définie est donnée par la fonction α de Mather. Cette observation est due à Siburg [Si2], [Si1], en dimension 2. Elle clarifie le lien entre les coefficients de Birkhoff et le spectre d’action au voisinage du tore. Notre extension à la dimension supérieure est rendue possible par une simplification de la preuve donnée dans [Si2].

We show that the Birkhoff normal form near a positive definite KAM torus is given by the function α of Mather. This observation is due to Siburg [Si2], [Si1] in dimension 2. It clarifies the link between the Birkhoff invariants and the action spectrum near the torus. Our extension to high dimension is made possible by a simplification of the proof given in [Si2].

DOI : 10.24033/bsmf.2457
Classification : 37J40, 37J50
Keywords: lagrangian systems, Aubry-Mather theory, minimizing orbits, averaged action, invariant torus, normal forms, action spectrum
Mot clés : systèmes lagrangiens, théorie d'Aubry-Mather, orbites minimisantes, action moyennée, tores invariants, formes normales, spectre d'action 
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Bernard, Patrick. The action spectrum near positive definite invariant tori. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 131 (2003) no. 4, pp. 603-616. doi : 10.24033/bsmf.2457. http://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2457/

[1] P. Bernard - « Homoclinic orbits to invariant sets of quasi-integrable exact maps », Ergod. Th. Dynam. Sys. 20 (2000), p. 1583-1601. | MR | Zbl

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[3] M. Herman - « Inégalités a priori pour des tores lagrangiens invariants par des difféomorphismes symplectiques », Publ. Math. IHES 70 (1989), p. 47-101. | Numdam | Zbl

[4] V. Lazutkin - KAM Theory and Semiclassical Approximations to Eigenfunctions, Springer, 1993. | MR | Zbl

[5] J. Mather - « Action minimizing invariant measures for positive definite Lagrangian systems », Math. Z. 207 (1991), p. 169-207. | MR | Zbl

[6] K. Siburg - « Aubry-Mather theory and the inverse spectral problem for planar convex domains », Israel J. Math. 113 (1999), p. 285-304. | MR | Zbl

[7] -, « Symplectic invariants of elliptic fixed points », Comment. Math. Helv. 75 (2000), p. 681-700. | MR | Zbl

Cité par Sources :