Surfaces kählériennes de volume fini et équations de Seiberg-Witten

Rollin, Yann

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 130 (2002) no. 3, pp. 409-456.

Soit $M=\mathbb{P}\left(ℰ\right)$ une surface complexe réglée. Nous introduisons des métriques de volume fini sur $M$ dons les singularités sont paramétrisées par une structure parabolique sur le fibré $ℰ$. Nous généralisons alors un résultat de Burns-deBartolomeis et Le Brun, en montrant que l’existence de métriques kählériennes singulières, de volume fini, à courbure scalaire constante négative ou nulle sur $M$ est équivalente à une condition de polystabilité parabolique sur $ℰ$ ; de plus ces métriques proviennent toutes de quotients de volume fini de ${ℍ}^2\times {\mathrm{ℂ\mathbb{P}}}^1$. En outre nous produisons une solution des équations de Seiberg-Witten pour une métrique singulière de volume fini afin de démontrer ce théorème.

Let $M=\mathbb{P}\left(ℰ\right)$ be a complex ruled surface. We introduce metrics of finite volume on $M$ whose singularities are parametrized by a parabolic structure over $ℰ$. Then, we generalise results of Burns-de Bartolomeis and Le Brun, by showing that the existence of a singular Kähler metric of finite volume and constant non positive scalar curvature on $M$ is equivalent to the parabolic polystability of $ℰ$; moreover these metrics all come from finite volume quotients of ${ℍ}^2\times {\mathrm{ℂ\mathbb{P}}}^1$. Therefore, we produce a solution of Seiberg-Witten equations for a singular metric $g$ of finite volume in order to prove the theorem.

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