Interpolation sur des perturbations d'ensembles produits

Roy, Damien

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 130 (2002) no. 3, pp. 387-408.

On démontre un résultat concernant l’interpolation de fonctions analytiques sur une perturbation d’ensemble produit qui, dans le cas $p$-adique, répond à une conjecture de P.Robba et, dans le cas complexe, complète des résultats antérieurs de E.Bombieri, S.Lang, D.Masser, J.-C.Moreau et M.Waldschmidt.

In 1970, E.Bombieri and S.Lang used analytic results of P.Lelong to establish a Schwarz lemma for a well distributed set of points in ${ℂ}^n$. Their result was extended to an interpolation lemma, first by D.W.Masser in the case of polynomials, then by M.Waldschmidt for analytic functions. J.-C.Moreau gave an analog of it over the real numbers and P.Robba in the $p$-adic realm. Robba also conjectured a $p$-adic interpolation lemma for the case where the set of points of interpolation is what he calls a perturbation of a product set, a situation which includes both the case of a well distributed set and the case of a cartesian product. In this paper, we present an algebraic proof of Robba’s conjecture together with a generalization of it over the complex numbers.

[1] E. Bombieri & S. Lang - « Analytic subgroups of group varieties », Invent. Math. 11 (1970), p. 1-14. | MR | Zbl

[2] P. Grinspan - « Measures of simultaneous approximation for quasi-periods of abelian varieties », J. Number Theory 94 (2002), p. 136-176. | MR | Zbl

[3] D. Masser - Elliptic functions and transcendence, Lecture Notes in Math., vol. 437, Springer-Verlag, Berlin, New York, 1975. | MR | Zbl

[4] -, « Diophantine approximation and lattices with complex multiplication », Invent. Math. 45 (1978), p. 61-82. | MR | Zbl

[5] -, « Polynomial interpolation in several complex variables », J. Approx. Theory 24 (1978), p. 18-34. | MR | Zbl

[6] J.-C. Moreau - « Zéros de polynômes en plusieurs variables », C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. A-B 282 (1976), p. A771-A774. | MR | Zbl

[7] -, « Lemmes de Schwarz en plusieurs variables et applications arithmétiques », Sém. P. Lelong, H. Skoda (Analyse) 1978/79, Lecture Notes in Math., vol. 822, Springer, Berlin, New York, 1980, p. 174-190. | MR | Zbl

[8] J. Oesterlé - « Réduction modulo $p^n$ des sous-ensembles analytiques fermés de ${\mathbb{Z}}_p^N$ », Invent. Math. 66 (1982), p. 325-341. | MR | Zbl

[9] P. Robba - « Lemmes de Schwarz et lemmes d’approximations $p$-adiques en plusieurs variables », Invent. Math. 48 (1978), p. 245-277. | MR | Zbl

[10] D. Roy - « Interpolation formulas and auxiliary functions », J. Number Theory 94 (2002), p. 248-285. | MR | Zbl

[11] J.-P. Serre - « Dépendance d’exponentielles $p$-adiques », Séminaire Delange-Pisot-Poitou, 1965-1966, exposé 15, 14p. | Numdam | Zbl

[12] M. Waldschmidt - Nombres transcendants et groupes algébriques, Astérisque, vol. 69-70, Soc. Math. France., 1979, avec deux appendices par D. Bertrand et J.-P. Serre. | MR | Zbl