Poids des duaux des codes BCH de distance prescrite $2^a+1$ et sommes exponentielles

Férard, Éric

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 130 (2002) no. 2, pp. 211-231.

Soit $n$ un entier pair. On considère un code BCH binaire $C_n$ de longueur $2^n-1$ et de distance prescrite $2^a+1$ avec $a\ge 3$. Le poids d’un mot non nul du dual de $C_n$ peut s’exprimer en fonction d’une somme exponentielle. Nous montrerons que cette somme n’atteint pas la borne de Weil et nous proposerons une amélioration de celle-ci. En conséquence, nous obtiendrons une amélioration de la borne de Carlitz-Uchiyama sur le poids des mots du dual de $C_n$.

Let $n$ be an even integer. We consider a binary BCH code $C_n$ of length $2^n-1$ and designed distance $2^a+1$ with $a\ge 3$. The weight of a nonzero codeword of the dual of $C_n$ is linked to the value of an exponential sum. We will show that this exponential sum does not reach the Weil bound and we will improve this bound. Thus, we obtain an improvement of the Carlitz-Uchiyama bound on the weights of the words of the dual of $C_n$.

[1] J. Ax - « Zeroes of polynomials over finite fields », Amer. J. Math. 86 (1964), p. 255-261. | MR | Zbl

[2] L. A. Bassalygo & V. A. Zinoviev - « Polynomials of a special form over a finite field with a maximum modulus of a trigonometric sum », Uspekhi Mat. Nauk 52 (1997), no. 2 (314), p. 31-44. | MR | Zbl

[3] E. R. Berlekamp - Algebraic coding theory, McGraw-Hill Book Co., New York, 1968. | MR | Zbl

[4] G. Van Der Geer & M. Van Der Vlugt - « Reed-Muller codes and supersingular curves. I », Compositio Math. 84 (1992), no. 3, p. 333-367. | Numdam | MR | Zbl

[5] N. Koblitz - $p$-adic numbers, $p$-adic analysis, and zeta-functions, second éd., Springer-Verlag, New York, 1984. | MR | Zbl

[6] K.-Z. Li & F. Oort - Moduli of supersingular abelian varieties, Springer-Verlag, Berlin, 1998. | MR | Zbl

[7] S. Litsyn, C. J. Moreno & O. Moreno - « Divisibility properties and new bounds for cyclic codes and exponential sums in one and several variables », Appl. Algebra Engrg. Comm. Comput. 5 (1994), no. 2, p. 105-116. | MR | Zbl

[8] O. Moreno & C. J. Moreno - « The MacWilliams-Sloane conjecture on the tightness of the Carlitz-Uchiyama bound and the weights of duals of BCH codes », IEEE Trans. Inform. Theory 40 (1994), no. 6, p. 1894-1907. | MR | Zbl

[9] F. Rodier - « Minoration de certaines sommes exponentielles binaires », Coding theory and algebraic geometry (Luminy, 1991), Springer, Berlin, 1992, p. 199-209. | MR | Zbl

[10] M. Rosen - « The asymptotic behavior of the class group of a function field over a finite field », Arch. Math. (Basel) 24 (1973), p. 287-296. | MR | Zbl

[11] J.-P. Serre - « Local class field theory », Algebraic Number Theory, Proc. Instructional Conf., Brighton, 1965, Thompson, Washington, D.C., 1967, p. 128-161. | MR

[12] D. Shanks - Solved and unsolved problems in number theory, third éd., Chelsea Publishing Co., New York, 1985. | MR | Zbl

[13] S. A. Stepanov - « Lower bounds on character sums over finite fields », Discrete. Math. Appl 2 (1992), no. 5, p. 523-532. | MR | Zbl

[14] J. Tate - « Endomorphisms of abelian varieties over finite fields », Invent. Math. 2 (1966), p. 134-144. | MR | Zbl

[15] -, « Classes d'isogénie des variétés abéliennes sur un corps fini (d'après T.Honda) », Séminaire Bourbaki, Lecture Notes in Math., Springer-Verlag, 1968/1969, exposé no 352. | Numdam | Zbl

[16] M. Van Der Vlugt - « Hasse-Davenport curves, Gauss sums, and weight distributions of irreducible cyclic codes », J. Number Theory 55 (1995), no. 2, p. 145-159. | MR | Zbl

[17] W. C. Waterhouse - « Abelian varieties over finite fields », Ann. Sci. École Norm. Sup. 2 (1969), no. 4, p. 521-560. | Numdam | MR | Zbl

[18] J. Wolfmann - « The number of points on certain algebraic curves over finite fields », Comm. Algebra 17 (1989), no. 8, p. 2055-2060. | MR | Zbl

[19] C. Xing - « The characteristic polynomials of abelian varieties of dimensions three and four over finite fields », Sci. China Ser. A 37 (1994), no. 2, p. 147-150. | MR | Zbl