Un résultat générique d'unicité pour les équations d'évolution

Saint-Raymond, Laure

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 130 (2002) no. 1, pp. 87-99.

Soit $ℰ$ un espace topologique, ${ℰ}^{\text{'}}$ un espace métrique et $\left(S\right)$ un système d’équations d’évolution admettant une solution dans ${ℰ}^{\text{'}}$ pour toute donnée initiale dans $ℰ$ et stable vis-à-vis des données initiales sur $ℰ$. On montre que l’ensemble des données initiales pour lesquelles $\left(S\right)$ admet une unique solution est un $G_{\delta }$ de $ℰ$. En particulier, si l’unicité est vraie sur un sous-ensemble dense de $ℰ$, elle l’est génériquement.

Let $ℰ$ be a topological space, ${ℰ}^{\text{'}}$ a metric space and $\left(S\right)$ a system of evolution equations admitting a solution in ${ℰ}^{\text{'}}$ for all initial data in $ℰ$ and stable with respect to initial data on $ℰ$. We prove that the set of initial data such that $\left(S\right)$ admits a unique solution is a $G_{\delta }$ subset of $ℰ$. In particular, if the uniqueness property is satisfied on a dense subset of $ℰ$, it holds generically.

Classification : 35A05, 35B30, 35B35
Mot clés : unicité, stabilité, équations d'évolution
Keywords: uniqueness, stability, evolution equations

[1] A. A. Arsen'Ev - « Existence in the large of a weak solution of Vlasov's system of equations (russian) », Ž. Vyčisl. Mat. i Mat. Fiz. 15 (1975), p. 136-147, 276. | MR | Zbl

[2] J.-P. Aubin & A. Cellina - Differential Inclusions. Set-Valued Maps and Viability Theory, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 264, Springer-Verlag, 1984. | MR | Zbl

[3] J. Delort - « Existence de nappes de tourbillon en dimension 2 », J. Amer. Math. Soc. 4-3 (1991), p. 553-586. | MR | Zbl

[4] R. Diperna & P.-L. Lions - « Global weak solutions of kinetic equations », Rend. Sem. Mat. Univ. Politec. Torino 46 (1988), no. 3, p. 259-288. | MR | Zbl

[5] I. Gasser, P. Jabin & B. Perthame - « Regularity and propagation of moments in some nonlinear vlasov systems », Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 130 (2000), no. 6, p. 1259-1273. | MR | Zbl

[6] P.-L. Lions - Mathematical topics in fluid mechanics. Vol. 1 : Incompressible models, Oxford Lecture Series in Math. and Appl., Clarendom Press, Oxford, 1996. | MR | Zbl

[7] P.-L. Lions & B. Perthame - « Propagation of moments and regularity for the 3-dimensional Vlasov-Poisson System », Invent. Math. 105 (1991), p. 415-430. | MR | Zbl

[8] B. Perthame - « Global existence to the BGK Model of Boltzmann equation », J. Diff. Equ. 82 (1989), p. 191-205. | MR | Zbl

[9] B. Perthame & M. Pulvirenti - « Weighted $L^{\infty }$ Bounds and Uniqueness for the Boltzmann BGK Model », Arch. Rational Mech. Anal. 125 (1993), p. 289-295. | MR | Zbl

[10] L. Saint-Raymond - « Discrete time Navier-Stokes limit for the BGK Boltzmann equation », à paraître dans Comm. Partial Diff. Eq., 2001. | MR | Zbl