Invariant jets of a smooth dynamical system

Lemaire, Sophie

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 129 (2001) no. 3, pp. 379-448.

Nous étudions les déformations locales d’une sous-variété évoluant sous l’action d’un système dynamique régulier. Afin de décrire ces déformations, nous introduisons des classes d’équivalence de sous-variétés, appelées jets, qui identifient les sous-variétés ayant les mêmes approximations en un point jusqu’à un certain ordre. Pour tout entier $k$, nous obtenons une condition sur les exposants de Lyapounov du système dynamique assurant la convergence des jets d’ordre $k$ des images d’une sous-variété par le système. Cette condition n’exclut pas les systèmes dynamiques stables. La limite obtenue est un jet d’ordre $k$ invariant par le système dynamique.

The local deformations of a submanifold under the effect of a smooth dynamical system are studied with the help of Oseledets’ multiplicative ergodic theorem. Equivalence classes of submanifolds, called jets, are introduced in order to describe these local deformations. They identify submanifolds having the same approximations up to some order at a given point. For every order $k$, a condition on the Lyapunov exponents of the dynamical system is established insuring the convergence of the $k$-jet of a submanifold evolving under the action of the dynamical system. This condition can be satisfied even by stable dynamical systems. The limit is a $k$-jet which is invariant by the dynamical system.

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