Local-global divisibility of rational points in some commutative algebraic groups

Dvornicich, Roberto; Zannier, Umberto

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 129 (2001) no. 3, pp. 317-338.

Pour un groupe algébrique commutatif $𝒜$, défini sur un corps de nombres $k$, on se pose la question suivante : étant donnés un entier $r$ strictement positif et un élément $P$ de $𝒜\left(k\right)$, on suppose que pour tout premier $v$ de $k$, à l’exception d’au plus d’un nombre fini, il existe un élément $D_v$ de $𝒜\left(k_v\right)$ avec $P=r{D}_v$. Peut-on en déduire l’existence d’un élément $D$ de $𝒜\left(k\right)$ tel que l’on ait $P=rD$ ? Une réponse complète à cette question est bien connue dans le cas où $𝒜$ est le groupe multiplicatif ${𝔾}_m$. Nous étudions d’autres cas particuliers. Nous obtenons notamment une réponse affirmative dans le cas où $r$ est un nombre premier et où $𝒜$ est, soit une courbe elliptique, soit un tore de dimension petite par rapport à $r$. En outre, nous montrons par un exemple que, dans le cas où $𝒜$ est un tore de dimension arbitraire, la réponse peut être négative, même si $r$ est un nombre premier.

Let $𝒜$ be a commutative algebraic group defined over a number field $k$. We consider the following question: Let $r$ be a positive integer and let $P\in 𝒜\left(k\right)$. Suppose that for all but a finite number of primes $v$ of $k$, we have $P=r{D}_v$ for some $D_v\in 𝒜\left(k_v\right)$. Can one conclude that there exists $D\in 𝒜\left(k\right)$ such that $P=rD$? A complete answer for the case of the multiplicative group ${𝔾}_m$ is classical. We study other instances and in particular obtain an affirmative answer when $r$ is a prime and $𝒜$ is either an elliptic curve or a torus of small dimension with respect to $r$. Without restriction on the dimension of a torus, we produce an example showing that the answer can be negative even when $r$ is a prime.

[1] N. Bourbaki - « Groupes et algèbres de Lie », ch. 2 et 3, Hermann, Paris, 1972. | MR | Zbl

[2] J.-L. Colliot-Thélène & J.-J. Sansuc - « La $r$-équivalence sur les tores », Ann. Sci. École Norm. Sup. 10 (1977), p. 175-229. | Numdam | MR | Zbl

[3] J.-J. Sansuc - « Groupe de Brauer et arithmétique des groupes linéaires sur un corps de nombres », J. reine angew. Math. 327 (1981), p. 12-80. | MR | Zbl

[4] J.-P. Serre - Algebraic Groups and Class Fields, Springer Verlag, 1988. | MR | Zbl