Profile decomposition for solutions of the Navier-Stokes equations

Gallagher, Isabelle

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 129 (2001) no. 2, pp. 285-316.

On considère des suites de solutions des équations de Navier-Stokes dans ${ℝ}^3$, associées à des suites de données initiales bornées dans ${\dot{H}}^{1/2}$. On montre, dans l’esprit du travail de H.Bahouri et P.Gérard (dans le cas de l’équation des ondes), qu’elles peuvent être décomposées en une somme de profils orthogonaux, bornés dans ${\dot{H}}^{1/2}$, à un terme de reste près, petit dans $L^3$ ; la méthode s’appuie sur la démonstration d’un résultat analogue pour l’équation de la chaleur, suivi d’un argument de perturbation. Si $𝒜$ est un espace « admissible » (en particulier $L^3$, ${\dot{B}}_{p,\infty }^{-1+3/p}$ pour $p<+\infty$ ou $\nabla BMO$), et si ${ℬ}_{{}_{NS}}^{𝒜}$ est la plus grande boule de de $𝒜$ centrée en zéro, telle que les éléments de ${\dot{H}}^{1/2}\cap {ℬ}_{{}_{NS}}^{𝒜}$ génèrent des solutions globales, alors on obtient en corollaire une estimation a priori pour ces solutions. On montre aussi que l’application associant une donnée dans ${\dot{H}}^{1/2}\cap {ℬ}_{{}_{NS}}^{𝒜}$ à sa solution est lipschitzienne.

We consider sequences of solutions of the Navier-Stokes equations in ${ℝ}^3$, associated with sequences of initial data bounded in ${\dot{H}}^{1/2}$. We prove, in the spirit of the work of H.Bahouri and P.Gérard (in the case of the wave equation), that they can be decomposed into a sum of orthogonal profiles, bounded in ${\dot{H}}^{1/2}$, up to a remainder term small in $L^3$; the method is based on the proof of a similar result for the heat equation, followed by a perturbation-type argument. If $𝒜$ is an “admissible” space (in particular $L^3$, ${\dot{B}}_{p,\infty }^{-1+3/p}$ for $p<+\infty$ or $\nabla BMO$), and if ${ℬ}_{{}_{NS}}^{𝒜}$ is the largest ball in $𝒜$ centered at zero such that the elements of ${\dot{H}}^{1/2}\cap {ℬ}_{{}_{NS}}^{𝒜}$ generate global solutions, then we obtain as a corollary an a priori estimate for those solutions. We also prove that the mapping from data in ${\dot{H}}^{1/2}\cap {ℬ}_{{}_{NS}}^{𝒜}$ to the associate solution is Lipschitz.

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