Growth of a primitive of a differential form

Sikorav, Jean-Claude

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 129 (2001) no. 2, pp. 159-168.

Pour qu’une forme différentielle exacte sur une variété riemannienne $M$ ait une primitive majorée par une fonction $f$ donnée, il faut d’après Stokes satisfaire une certaine inégalité isopérimétrique pondérée. Nous montrons une réciproque à des constantes près si la variété est à géométrie bornée. Pour une forme volume, l’inégalité ($\left|\Omega \right|\le {\int }_{\partial \Omega }f\mathrm{d}\sigma$ pour tout domaine compact $\Omega \subset M$) suffit. Ceci implique en particulier le résultat « bien connu » que si $M$ est le revêtement universel d’une variété riemannienne compacte à groupe fondamental non moyennable, la forme volume a une primitive bornée. Grâce à un théorème récent d’A.$\dot{\mathrm{Z}}$uk, nous obtenons aussi que si le groupe fondamental est infini, la forme volume a toujours une primitive à croisssance linéaire.

For an exact differential form on a Riemannian manifold to have a primitive bounded by a given function $f$, by Stokes it has to satisfy some weighted isoperimetric inequality. We show the converse up to some constants if $M$ has bounded geometry. For a volume form, it suffices to have the inequality ($\left|\Omega \right|\le {\int }_{\partial \Omega }f\mathrm{d}\sigma$ for every compact domain $\Omega \subset M$). This implies in particular the “well-known” result that if $M$ is the universal covering of a compact Riemannian manifold with non-amenable fundamental group, then the volume form has a bounded primitive. Thanks to a recent theorem of A.$\dot{\mathrm{Z}}$uk, we also obtain that if the fundamental group is infinite, the volume form always has a primitive with linear growth.

[1] M. Gromov - Structures métriques pour les variétés riemanniennes, Textes Mathématiques [Mathematical Texts], vol. 1, CEDIC, Paris, 1981, Edited by J. Lafontaine and P. Pansu. | MR | Zbl