Ensembles et cônes minimaux de dimension $2$ dans les espaces euclidiens

Ensembles et cônes minimaux de dimension

2

dans les espaces euclidiens

Liang, Xiangyu

Directeur de thèse : David, Guy

Membres du jury : Kahane, Jean-Pierre ; David, Guy ; De Pauw, Thierry ; Dibos, Françoise ; Fusco, Nicola ; Santambrogio, Filippo

Thèses d'Orsay, no. 808 (2010) , 201 p.

Résumé
Abstract

On s’intéresse dans cette thèse aux ensembles minimaux.

Dans la première partie on étudie les cônes minimaux au sens d’Almgren de dimension $2$ dans $ℝ^{4}$ , ce qui est une première étape obligée et utile dans l’étude des ensembles minimaux. La minimalité au sens d'Almgren de l'union de deux plans presque orthogonaux est établie. La méthode est généralisée pour montrer que l'union presque orthogonale de plusieurs plans ou hyperplans, et l'union presque orthogonale d'un plan et un $Y$ sont minimales.

Dans la seconde partie on introduit une définition de minimiseur topologique, qui généralise celle de minimiseur de Mumford-Shah. On montrera des propriétés des minimiseurs topologiques, et fera un premier pas dans la direction d'une caractérisation des minimiseurs topologiques. On restreindra aussi la classe potentielle des Almgren-minimiseurs de $ℝ^{3}$ qui ne seraient pas des cônes.

In the thesis we discuss the theory of minimal sets.

In the first part we study $2$ -dimensional Almgren minimal cones in $ℝ^{4}$ , which is the first useful and necessary step to study Almgren minimal sets. We establish the Almgren minimality of the union of a pair of almost orthogonal planes in $ℝ^{4}$ . The method is also generalized to prove the minimality of the almost orthogonal union of several planes or hyperplanes, as well as the almost orthogonal union of a plane and a $Y$ in $ℝ^{5}$ .

In the second part we introduce a definition of topological minimal sets, which is a generalization of that of Mumford-Shah-minimal sets. We prove some properties of topological minimal sets, and make a first step towards a characterisation of topological minimal sets. We restrict also the potential class of those Almgren minimal sets in $ℝ^{3}$ which are not cones.

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Liang, Xiangyu. Ensembles et cônes minimaux de dimension $2$ dans les espaces euclidiens. Thèses d'Orsay, no. 808 (2010), 201 p. http://numdam.org/item/BJHTUP11_2010__0808__P0_0/

Sommaire

0 Introduction générale	p. 5
I Minimalité d'une union de deux plans	p. 12
1 Introduction de la première partie	p. 14
2 Discussions sur le cas orthogonal et des cas presque orthogonaux	p. 23
2.1 Estimation des projections sur l'union de $2$ plans transverses pour tout $2$ -vecteur simple	p. 24
2.2 Comparaison de la mesure d'un ensemble rectifiable avec la somme de celles de ses projections sur deux plans	p. 29
3 Unicité de $P_{0}$	p. 31
4 L'existence d'ensembles minimaux	p. 43
5 Rayons critiques	p. 57
6 Propriétés de projection et régularité de $E_{k}$	p. 61
7 Argument d'extension harmonique	p. 75
8 Conclusion	p. 82
9 Généralisation aux dimensions plus hautes	p. 89
9.1 Estimations algébriques pour la somme des projecteurs de deux hyperplans (parallèle au paragraphe 2)	p. 89
9.2 Unicité de $P_{0}$	p. 92
9.3 L'argument de l'extension harmonique par les harmoniques sphériques	p. 98
10 Généralisation au cas de plusieurs plans et hyperplans	p. 104
11 L'union presque orthogonale d'un plan et un $𝕐$ dans $ℝ^{5}$	p. 111
11.1 Discussions générales	p. 111
11.2 L’unicité de $Z_{0}$	p. 113
11.3 Remarques sur d'autres préparatifs	p. 124
11.4 Conclusion	p. 129
12 Produit et calibration	p. 133
II Minimiseurs topologiques	p. 140
13 Introduction de la deuxième partie	p. 141
14 Minimiseurs Al dans $ℝ^{3}$	p. 143
15 Contrôler la topologie par mesure	p. 152
16 Préliminaires sur la topologie	p. 160
16.1 Topologie algébrique	p. 160
16.2 Transversalité	p. 164
17 L'image réciproque d'une chaîne lisse par une application transverse	p. 166
18 Minimiseur topologique	p. 170
19 Une discussion sur $T$	p. 177

Bibliographie
Cité par

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