Pseudo-abelian varieties

Totaro, Burt

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 46 (2013) no. 5, pp. 693-721.

Le théorème de Chevalley affirme que tout groupe algébrique lisse connexe sur un corps parfait est une extension d’une variété abélienne par un groupe affine lisse connexe. Cela n’est plus vrai lorsque le corps de base n’est pas parfait. Nous définissons une variété pseudo-abélienne sur un corps arbitraire $k$ en tant que $k$-groupe lisse connexe dans lequel tous les $k$-sous-groupes lisses connexes affines distingués sont triviaux. Cela donne un nouveau point de vue sur la classification des groupes algébriques : tout groupe lisse connexe sur un corps est une extension, faite de manière unique, d’une variété pseudo-abélienne par un groupe lisse connexe affine. Nous déterminons une grande partie de la structure des variétés pseudo-abéliennes. Ces groupes sont étroitement liés aux groupes unipotents en caractéristique $p$ et aux groupes pseudo-réductifs étudiés par Tits et Conrad-Gabber-Prasad. Plusieurs propriétés des variétés abéliennes (comme le théorème de Mordell-Weil) s’étendent aux variétés pseudo-abéliennes. Enfin, nous conjecturons une description de ${\mathrm{Ext}}^2({𝐆}_a,{𝐆}_m)$ sur n’importe quel corps par générateurs et relations, dans l’esprit de la conjecture de Milnor.

Chevalley’s theorem states that every smooth connected algebraic group over a perfect field is an extension of an abelian variety by a smooth connected affine group. That fails when the base field is not perfect. We define a pseudo-abelian variety over an arbitrary field $k$ to be a smooth connected $k$-group in which every smooth connected affine normal $k$-subgroup is trivial. This gives a new point of view on the classification of algebraic groups: every smooth connected group over a field is an extension of a pseudo-abelian variety by a smooth connected affine group, in a unique way. We work out much of the structure of pseudo-abelian varieties. These groups are closely related to unipotent groups in characteristic $p$ and to pseudo-reductive groups as studied by Tits and Conrad-Gabber-Prasad. Many properties of abelian varieties such as the Mordell-Weil theorem extend to pseudo-abelian varieties. Finally, we conjecture a description of ${\mathrm{Ext}}^2({𝐆}_a,{𝐆}_m)$ over any field by generators and relations, in the spirit of the Milnor conjecture.

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