Explicit cogenerators for the homotopy category of projective modules over a ring

Neeman, Amnon

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 44 (2011) no. 4, pp. 607-629.

Soit $R$ un anneau. Dans deux articles antérieurs [12, 14], on a étudié la catégorie d’homotopie $𝐊\left(R\text{-}\mathrm{Proj}\right)$ des $R$-modules projectifs. On a construit un ensemble de générateurs pour cette catégorie et on a démontré que la catégorie est compactement générée de niveau ${\aleph }_1$ pour chaque anneau $R$, mais qu’elle n’est pas toujours compactement générée. Toutefois, pour $R$ un anneau suffisamment raisonnable, la catégorie $𝐊\left(R\text{-}\mathrm{Proj}\right)$ est compactement générée. On a étudié l’inclusion $j_{!}^{}:𝐊\left(R\text{-}\mathrm{Proj}\right)\to 𝐊\left(R\text{-}\mathrm{Flat}\right)$ et la sous-catégorie orthogonale $𝒮={𝐊\left(R\text{-}\mathrm{Proj}\right)}^{\perp }$. On a même montré que l’inclusion $𝒮\to 𝐊\left(R\text{-}\mathrm{Flat}\right)$ admet un adjoint à droite  ; il s’ensuit qu’une certaine application naturelle $𝐊\left(R\text{-}\mathrm{Proj}\right)\to {𝒮}^{\perp }$ est une équivalence. Dans le présent article, on produit un ensemble de cogénérateurs pour $𝐊\left(R\text{-}\mathrm{Proj}\right)$. Plus précisément, cet ensemble de cogénérateurs appartient naturellement à la catégorie équivalente ${𝒮}^{\perp }\cong 𝐊\left(R\text{-}\mathrm{Proj}\right)$ ; on peut l’utiliser pour obtenir une nouvelle démonstration du fait que l’inclusion $𝒮\to 𝐊\left(R\text{-}\mathrm{Flat}\right)$ admet un adjoint à droite. Mais il y a déjà plusieurs autres démonstrations de ce fait.

Let $R$ be a ring. In two previous articles [12, 14] we studied the homotopy category $𝐊\left(R\text{-}\mathrm{Proj}\right)$ of projective $R$-modules. We produced a set of generators for this category, proved that the category is ${\aleph }_1$-compactly generated for any ring $R$, and showed that it need not always be compactly generated, but is for sufficiently nice $R$. We furthermore analyzed the inclusion $j_{!}^{}:𝐊\left(R\text{-}\mathrm{Proj}\right)\to 𝐊\left(R\text{-}\mathrm{Flat}\right)$ and the orthogonal subcategory $𝒮={𝐊\left(R\text{-}\mathrm{Proj}\right)}^{\perp }$. And we even showed that the inclusion $𝒮\to 𝐊\left(R\text{-}\mathrm{Flat}\right)$ has a right adjoint; this forces some natural map to be an equivalence $𝐊\left(R\text{-}\mathrm{Proj}\right)\to {𝒮}^{\perp }$. In this article we produce a set of cogenerators for $𝐊\left(R\text{-}\mathrm{Proj}\right)$. More accurately, this set of cogenerators naturally lies in the equivalent ${𝒮}^{\perp }\cong 𝐊\left(R\text{-}\mathrm{Proj}\right)$; it can be used to give yet another proof of the fact that the inclusion $𝒮\to 𝐊\left(R\text{-}\mathrm{Flat}\right)$ has a right adjoint. But by now several proofs of this fact already exist.

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