Théorie de Fontaine en égales caractéristiques

Genestier, Alain; Lafforgue, Vincent

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 44 (2011) no. 2, pp. 263-360.

Les chtoucas locaux sont des analogues en égales caractéristiques des groupes $p$-divisibles - par exemple on leur associe un module de Tate, qui est un module libre sur l’anneau d’entiers d’un corps local $K$ de caractéristique positive. Nous associons à un chtouca local une structure de Hodge (ou, plus précisément, une structure de Hodge-Pink), ce qui induit un morphisme de périodes analogue à celui construit par Rapoport et Zink. Pour les structures de Hodge-Pink définies sur une extension finie de $K$ nous démontrons un analogue du théorème « faiblement admissible implique admissible » de Colmez et Fontaine. Nous développons aussi une théorie entière. Les démonstrations sont élémentaires et ne font pas intervenir de clôture algébrique de $K$. Les arguments utilisés dans la théorie entière sont très proches de ceux qui interviennent dans la théorie rationnelle.

Local shtukas are analogs in equal characteristics of $p$-divisible groups: for example one can associate to them a Tate module, which is a free module over the ring of integers of a local field $K$ of positive characteristic. We associate to a local shtuka a Hodge structure (or more precisely a Hodge-Pink structure) which gives rise to a period morphism analogous to the one constructed by Rapoport and Zink. For Hodge-Pink structures defined over a finite extension of $K$ we prove an analog of the “ weakly admissible implies admissible ” theorem of Colmez and Fontaine. We also develop an integral theory. The proofs are elementary and do not use an algebraic closure of $K$. The arguments used in the integral theory are very close to those used in the rational theory.

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