Overconvergent de Rham-Witt cohomology

Davis, Christopher; Langer, Andreas; Zink, Thomas

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 44 (2011) no. 2, pp. 197-262.

Le but de ce travail est de construire, pour $X$ une variété lisse sur un corps parfait $k$ de caractéristique finie, un complexe de de Rham-Witt surconvergent $W^{†}{\Omega }_{X/k}$ comme un sous-complexe convenable du complexe de de Rham-Witt de Deligne-Illusie. Ce complexe qui est fonctoriel en $X$ est un complexe de faisceaux étales et une algèbre différentielle graduée sur l’anneau $W^{†}\left({𝒪}_X\right)$ des vecteurs de Witt surconvergents. Lorsque $X$ est affine, on démontre qu’il existe un isomorphisme canonique entre la cohomologie de Monsky-Washnitzer et la cohomologie (rationnelle) de de Rham-Witt surconvergente. Finalement on définit pour $X$ quasi-projectif un isomorphisme entre la cohomologie rigide de $X$ et la cohomologie de de Rham-Witt surconvergente rationnelle.

The goal of this work is to construct, for a smooth variety $X$ over a perfect field k of finite characteristic $p>0$, an overconvergent de Rham-Witt complex $W^{†}{\Omega }_{X/k}$ as a suitable subcomplex of the de Rham-Witt complex of Deligne-Illusie. This complex, which is functorial in $X$, is a complex of étale sheaves and a differential graded algebra over the ring $W^{†}\left({𝒪}_X\right)$ of overconvergent Witt-vectors. If $X$ is affine one proves that there is an isomorphism between Monsky-Washnitzer cohomology and (rational) overconvergent de Rham-Witt cohomology. Finally we define for a quasiprojective $X$ an isomorphism between the rational overconvergent de Rham-Witt cohomology and the rigid cohomology.

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